만약

연속 랜덤 변수 $X$ 의 경우 $E(|X|)$ 가 유한하면 $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ 입니까?

이것은 인터넷에서 발견 된 문제이지만 그것이 있는지 여부는 확실하지 않습니다.

$n P(|X|>n)<E(|X|)$ 가 Markov 부등식을 유지 한다는 것을 알고 있지만 $n$ 이 무한대에 가까워지면 0이된다는 것을 보여줄 수 없습니다 .

probability expected-value probability-inequalities

— 456 123
소스

(1) 연속성이 필요하지 않습니다. (2) 생존 함수

의 적분으로 기대 값을 표현하십시오

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ . (3) 반대되는 점을 고려하십시오. 제로가 아닌 한계가 기대에 대해 암시하는 것은 무엇입니까?

— whuber

@whuber 좋은 운동! 나는 정답이 있다고 생각하지만 이것이처럼 보이기 self-study때문에 여기에 쓰지 않아야한다고 생각합니다. 개인 대화방을 만들고 내 솔루션을 보여줄 수 있습니까? 정확한지 알려주십시오.

— DeltaIV

@Delta 이것은 답변을 게시하는 것이 좋을 것 같습니다. OP에는 특정 하위 질문이 있으며 숙제 답변을 위해 트롤링하는 것처럼 보이지 않습니다.

— whuber

@ whuber 이것은 자연수에 대한 균일 분포가 존재하지 않음을 상기시킵니다. 이것은 연속성이 필요하지 않지만 카운트 가능한 가산 성은 ?

— Bill Clark

답변:

의 큰 값만 유지하여 정의 된 임의의 변수:그것은 분명 그 , 그래서 주 그 및각 . 따라서 (1)의 LHS는 지배적 인 수렴에 의해 0이되는 경향이 있습니다. $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

— 그랜드 채팅
소스

마지막 문장에서 "RHS"를 의미한다고 생각합니다. 그렇지 않으면 잘하셨습니다.

— jbowman

@jbowman 은 지배적 수렴 정리에 의해 을 의미합니다 ( 만으로는 결론에 도달하기에 충분하지 않습니다). 나는 Wikipedia에 DCT 링크를 추가했다

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

— P.Windridge

@ P.Windridge-필자는 충분히 읽지 않았으며 이전 문장 대신 "So the LHS"를 방정식 1과 연관시켰다. 내 잘못이야.

— jbowman

참고 임의의 변수입니다. 어떤 의미에서 ?

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

— YHH 2019

@YHH 수렴은 포인트 단위입니다. 모든 에 대해 은 입니다.

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

— grand_chat

연속 랜덤 변수에 대한 답변을 제공 할 수 있습니다 (확실히 일반적인 답변이 있습니다). 하자: $Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

그러므로

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

이제 가설에 의해 가 유한하기 때문에 $\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

그때

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

샌드위치 정리에 의해.

— 델타 IV
소스

@ P.Windridge 당신은 또한 지배적 수렴 정리의 사용이 올바른지 확인할 수 있습니까? 수량이 인데, 음수가 아니고 한계가 0 인 수량보다 크지 않으므로 입니다. 정리. 감사합니다

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

— DeltaIV

@ DeltaIV- 먼저, " 및 "은 의미합니다 "는 지배적 인 수렴 정리가 아닙니다 (일반적으로 샌드위치 정리라고 함).

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

— P.Windridge

@ DeltaIV- 아니오, DCT가 필요하지 않으며 MCT로 충분합니다 (여기에는 가능성이 포함 되지만

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

— infty-

문제 없어요. Btw, 나는 가 가정에 의해 유한하다는 것을 알고 있습니다 . 나는 당신이 그 가정을 어디에 사용하는지 설명하고 있습니다 (@grand_chat이 사용한 DCT와 달리 MCT 자체는 그것을 요구하지 않습니다.) :).

E [Y]

$E[Y]$

— P.Windridge

@ P.Windridge 아, 알았어! 나는 MCT가 가정을 요구하지 않는다는 것을 알지 못했다. 나는 DCT를 살펴 보았습니다. 그래서 나는 그것을 증명하기 위해 필요하지 않다고 생각했습니다. :) 대학에서 Lebesgue 통합에 대해 배우지 않은 가격을 지불합니다 ... 이러한 이유로 나는 측정 값이 아닌 pdf로 확률 미적분을합니다.

— DeltaIV

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (일관 적으로 통합 가능)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

즉, $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

— 알데 후
소스