비 중심 지수 분포의 예상 로그 값

가 위치 및 rate 와 함께 비 중심적으로 지수 분포되어 있다고 가정 합니다. 그런 다음 는 무엇입니까 ? $X$ $k$ $\lambda$ $E(\log(X))$

난에 대해 알고 $k=0$ , 응답이 $-\log(\lambda) - \gamma$ 여기서 $\gamma$ 오일러 - 마스케 로니 상수이다. 때 $k > 0$ 어떻습니까?

mean expected-value integral

— 닐 G
소스

Mathematica에 통합을 시도 했습니까?

I는 가정

k > 0

$k > 0$ (밀도는 다음과 같이 기입된다

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$ ), 그렇지 않으면

x < 0

$x < 0$ 대 무서운 결과를 초래할 가능성> 0으로

E \log x

$\mathbb{E}\log x$ .

— jbowman

I있어

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ . Assumptions매개 변수 공간 지정 명령 을 사용하면 Mathematica가 더 빠릅니다 .

불완전한 상단 감마 함수가 닫힌 형태 로 계산 됩니까? (나에게는 그렇지 않습니다.) 이것은 단순히 표기법을 통해 정수를 숨기는 것입니다.

— 추기경

@NeilG 이것은 Mathematica 코드 Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]입니다. 복사하여 .nb 파일에 붙여 넣기 만하면됩니다. Wolfram Alpha가 제한을 포함 할 수 있는지 확실하지 않습니다.

원하는 적분은 무차별 대입 조작으로 제출 될 수 있습니다. 여기서 우리는 대신 약간 더 확률적인 맛을 가진 대체 유도를 제공하려고 시도합니다.

하자 의 위치 파라미터와 noncentral 지수 확률 변수 일 및 레이트 파라미터 . 그런 다음 여기서 입니다. $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

참고 그렇게하는 사용 음수 확률 변수의 기대를 계산하기위한 표준 사실 , 그러나 에서 부터 그래서 마지막 평등은 치환 따른다 $\log(X/k) \geq 0$

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$ , 입니다.

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

최근 디스플레이의 오른쪽 크기 적분 그냥 정의에 의해 그렇게 질문에 대한 의견에서 @ Procrastinator의 Mathematica 계산 에 의해 확인 된 . $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB : 대신 등가 표기법 도 종종 사용됩니다 . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— 추기경
소스

+1 @Michael Chernick 모든 사람이 게으른 것은 아닌 것 같습니다;).

정말 대단합니다. 불완전한 감마 함수의 많은 구현이 첫 번째 매개 변수를 엄격하게 양수로 제한한다는 것을이 구현하는 사람에게 지적하고 싶습니다. ID 는 그 사소한 문제를 해결합니다.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— Neil G