사후 분포를 이미 알고 있다면 왜 사후 분포에서 표본을 추출해야합니까?

내 이해는 베이지안 접근법을 사용하여 매개 변수 값을 추정 할 때입니다.

사후 분포는 사전 분포와 우도 분포의 조합입니다.
우리는 사후 분포에서 표본을 생성하여이를 시뮬레이션합니다 (예를 들어, Metropolis-Hasting 알고리즘을 사용하여 값을 생성하고 사후 분포에 속할 확률의 특정 임계 값보다 높은 경우 값을 수용 함).
이 샘플을 생성 한 후에는이 샘플을 사용하여 사후 분포 및 평균과 같은 것을 근사합니다.

그러나 나는 무언가를 오해해야한다고 생각합니다. 우리는 사후 분포를 가지고 그로부터 표본을 추출한 후 그 표본을 사후 분포의 근사치로 사용합니다. 그러나 우리가 처음에 후 분포를 가지고 있다면 왜 그것을 근사하기 위해 샘플링해야합니까?

— 데이브
소스

이 질문은이 포럼에서 이미 고려되었을 것입니다.

"후부 분포가있다"고 말할 때 정확히 무엇을 의미합니까? 하는 기능 "을 갖는" I은 후방, 즉 비례 알고 인스턴스 완전 인공 타겟 은 (는) $\theta$

π (θ | 엑스) \propto π (θ) \times 에프 (엑스 | θ)

$\pi(\theta|x) \propto \pi(\theta) \times f(x|\theta)$

π (θ | 엑스) \propto 특급 {- | | θ - 엑스 | |^{2} - | | θ + 엑스 | |^{4} - | | θ - 2 엑스 | |^{6}}, 엑스, θ \in {아르 자형}^{18},

$\pi(\theta|x)\propto\exp\{-||\theta-x||^2-||\theta+x||^4-||\theta-2x||^6\},\ \ x,\theta\in\mathbb{R}^{18},$

의 함수에 대한 사후 기대 , 예를 들어 , 표준 손실에서 베이지안 추정기로 작동하는 사후 평균; $\theta$ $\mathbb{E}[\mathfrak{h}(\theta)|x]$
임의의 유틸리티 기능 하에서 최적의 결정, 예상되는 후방 손실을 최소화하는 결정;
매개 변수의 불확실성 90 % 또는 95 %, 매개 변수의 서브 벡터 또는 매개 변수의 함수, 일명 HPD 영역 ${h = h (θ); π^{h} (h) \geq \underline{h}}$ $\{h=\mathfrak{h}(\theta);\ \pi^\mathfrak{h}(h)\ge \underline{h}\}$
매개 변수의 일부 구성 요소를 특정 값으로 설정하는 것과 알 수없는 (및 임의) 유지 중에서 선택하는 가장 가능성이 높은 모델입니다.

이들은 사후 분포의 많은 사용법의 예일뿐입니다. 가장 간단한 것들을 제외한 모든 경우에, 나는 사후 분포 밀도를 응시하여 답을 제공 할 수 없으며 Monte Carlo 및 Markov chain Monte Carlo 방법과 같은 수치 해상도를 진행해야합니다.

— 시안
소스

답변 시안에 대단히 감사합니다. 나는 이것이 내 질문에 대답한다고 확신하지만 여전히 그것을 이해하는 데 약간의 어려움이 있습니다. 우리가 사후에 해당하는 확률 밀도 함수를 가지고 있다는 것이 맞습니까 (즉, 사전과 가능성을 결합하여)? 표본 후부 분포가 아닌 이로부터 직접 95 % CI를 찾을 수없는 이유는 무엇입니까?

— Dave

@Dave 여기 핵심은 "있다"는 뜻입니다. 일반적으로 폐쇄 형 솔루션이 없으므로 유용한 의미로 함수를 "가지고"있지 않습니다.

— monk

답장을 보내 주셔서 감사합니다! 닫히지 않은 양식 솔루션을 만드는 방법에 대해 자세히 설명 하시겠습니까?

— Dave

이전이 베타 (a, b)이고 가능성이 이항 (n, p)이라고 가정합니다. 후부의 기대 값을 어떻게 계산합니까? 펜과 종이로 해당 제품의 필수 구성 요소를 시험해보십시오. 일반적으로 이러한 통합은 컴퓨터가 정확한 가치를 얻기 위해 필요한 것입니다. 또는 이항 이전에 베타가 공액임을 알 수 있으므로 후자는 베타 (쉽게 계산 가능한 매개 변수 포함)가됩니다. 그러나 종종 당신은 그렇게 운이 좋지 않을 것입니다. "닫힌 형태"의 정의를 찾아내는 것은 어렵고 독자적으로 읽을 가치가 있습니다.

— monk

예, 분석 후 분포가있을 수 있습니다. 그러나 베이지안 분석의 핵심은 정확도와 일반화 기능 모두에서 더 나은 예측 결과를 얻을 수 있도록 매개 변수의 사후 분포를 주 변화하는 것입니다. 기본적으로 다음과 같은 형태의 예측 분포를 구하려고합니다.

$p(x|D)=\int p(x|w) p(w|D)dw$

$p(w|D)$ $p(w|D)$ $p(x|w)$

— 칼슨 유
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