합니까 는 와 독립성을 의미 합니까?

합니까 는 와 독립성을 의미 합니까? $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$ $X$ $Y$

나는 와 사이의 다음과 같은 독립 정의에만 익숙합니다 . $X$ $Y$

f_{x, y} (x, y) = f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$

random-variable independence

— stollenm
소스

당신이 필요 이 아니라

C o v (f (X), g (Y)) = 0 for all (measurable) f (\cdot), g (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),g(Y)\right) = 0 ~\text{for all (measurable)} ~f(\cdot), g(\cdot)$

C o v (f (X), Y) = 0 \forall f (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(\cdot)$

— Dilip Sarwate

직감부터 시작합시다. 모든 함수 에 대해 에 대한 의 일반적인 최소 제곱 회귀의 기울기는 와 의 공분산에 비례합니다 . 모든 회귀 분석은 선형 회귀 분석이 아니라 모두 0 인 것으로 가정 합니다. 점 구름 (실제로 확률 밀도 구름 표현 된 를 상상한다면 어떻게 수직으로 얇게 썰고 (매핑 를 수행하는) 슬라이스를 재정렬 하더라도 회귀는 0으로 유지됩니다. 이것은 의 조건부 기대를 암시합니다. $Y$ $h(X)$ $h$ $h(X)$ $Y$ $(X,Y)$ $h$ $Y$ (회귀 함수)는 모두 일정합니다. 기대치를 일정하게 유지하면서 조건부 분포 를 조일 수있어 독립 가능성을 망칠 수 있습니다. 따라서 결론이 항상 유지되는 것은 아닙니다.

간단한 반례가 있습니다. 9 개의 추상 요소 의 표본 공간 과 확률이

Ω = {ω_{i, j} ∣ - 1 \leq i, j, \leq 1}

$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$

P (ω_{0, 0}) = 0; P (ω_{0, j}) = 1 / 5 (j = \pm 1); P (ω_{i, j} = 1 / 10) otherwise.

$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$

정의

X (ω_{i, j}) = j, Y (ω_{i, j}) = i .

$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$

이러한 확률을 배열로 표시 할 수 있습니다

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix})

$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$

(모든 항목에 곱한 값으로) 값으로 양방향으로 색인화합니다 . $1/10$ $-1,0,1$

한계 확률은 및 배열의 열 합과 행 합으로 각각 계산됩니다. 이후 이들 변수는 독립적이지 않습니다.

f_{X} (- 1) = f_{X} (1) = 3 / 10; f_{X} (0) = 4 / 10

$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$

f_{Y} (- 1) = f_{Y} (1) = 4 / 10; f_{Y} (0) = 2 / 10,

$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$

f_{X} (0) f_{Y} (0) = (4 / 10) (2 / 10) \neq 0 = P (ω_{0, 0}) = f_{X Y} (0, 0),

$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$

이것은 이 대한 다른 조건부 분포와 다른 경우 의 조건부 분포를 만들기 위해 구성되었습니다 . 행렬의 중간 열을 다른 열과 비교하여이를 확인할 수 있습니다. 좌표와 모든 조건부 확률 의 대칭 은 의 관련 값 이 열에 다시 할당 될 수있는 방법에 관계없이 모든 공분산이 0 인 경우 모든 조건부 기대 값이 0임을 즉시 보여줍니다 . $Y$ $X=0$ $X=\pm 1$ $Y$ $X$

확실 하지 않은 사람들은 직접 계산을 통해 반대의 예를 보여줄 수 있습니다. 함수 만 고려하면되고 각각의 공분산은 0입니다. $27$

— 우버
소스