일관성없는 견적이 선호 되는가?

일관성은 분명히 자연스럽고 중요한 속성 추정기이지만 일관성있는 추정기보다는 일관성이없는 추정기를 사용하는 것이 더 좋은 상황이 있습니까?

보다 구체적으로, (일부 적절한 손실 함수와 관련하여) 모든 유한 대해 합리적인 일관된 추정량을 능가하는 불일치 추정량의 예가 있습니까? $n$

estimation consistency

— MånsT
소스

올가미와 그 (다수!) 변형을 사용하여 추정 문제에서 모델 선택의 일관성과 모수 일관성 간의 성능에 흥미로운 상충 관계가 있습니다. 예를 들어 Bühlmann과 van der Geer의 최근 텍스트에 자세히 나와 있습니다.

— 추기경

내 의견이 삭제되었지만 지금도 답변이 보류되지 않습니까? 즉, 작은 샘플에서는 분산이 적은 편견 추정기가있는 것이 좋습니다. 또는 일관된 추정량이 항상 다른 편향되지 않은 추정기보다 분산이 낮다는 것을 보여줄 수 있습니까?

— 밥 얀센

아마도 @Bootvis! MSE가 낮은 일관된 추정기의 예가 있습니까?

— MånsT 2016 년

@Bootvis : 일관성과 편견에 대해 묻는 최근 질문에 대한 답변에 대한 광범위한 의견을 살펴보면 일관성있는 추정기가 분산과 편견 모두에서 임의로 야생 행동을 할 수 있음을 알 수 있습니다. . 귀하의 의견에 관한 모든 의심을 제거해야합니다.

— 추기경

나는 두 권의 책 중 하나를 가지고 있다고 생각했지만 분명히 그것에 대해서도 틀렸다! 이 예제는 어디에도 없습니다. @ cardinal : 재미있는 것들, 그것을 확인합니다

— 밥 얀센

이 답변은 일관된 자연 추정기가 일관성이없는 추정기에 의해 지배되는 (모든 표본 크기에 대한 모든 가능한 매개 변수 값보다 우수한) 현실적인 문제를 설명합니다. 일관성은 2 차 손실에 가장 적합하다는 생각에 동기를 부여하므로, 비대칭 손실과 같이 그로부터 크게 벗어난 손실을 사용하면 추정기의 성능을 평가할 때 일관성이 거의 무용지물이되어야합니다.

고객이 iid 샘플 에서 대칭 분포를 갖는 것으로 가정)의 평균을 추정하려고한다고 가정합니다 에서하지만 (a) 과소 평가하거나 (b) 심하게 과대 평가하는 것을 반대한다고 가정합니다. 그것. $(x_1, \ldots, x_n)$

이것이 어떻게 작동하는지보기 위해 간단한 손실 함수를 채택하여 실제로 손실이 양적으로 (질적으로는) 다를 수 있음을 이해하십시오. 그렇게 측정 단위를 선택 최대 허용 과대이며 추정 손실 설정 진정한 의미 인 경우 같음 마다 과 동일 , 그렇지. $1$ $t$ $\mu$ $0$ $\mu \le t\le \mu+1$ $1$

계산은 평균 및 분산 인 정규 분포 분포에 대해 특히 간단합니다. 그런 다음 표본 평균 $\mu$ $\sigma^2 \gt 0$ 는 정규분포입니다. 표본 평균은잘 알려진 (그리고 명백한)의 일관된 추정량입니다. 쓰기표준 정규 CDF를 들어, 표본 평균의 예상 손실은 동일 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_i x_i$ $(\mu, \sigma^2/n)$ $\mu$ $\Phi$ :표본 평균이 실제 평균과 과소 평가 것이라는 확률이 50 %에서 오는 $1/2 + \Phi(-\sqrt{n}/\sigma)$ $1/2$ 는이상으로 실제 평균을 과대 평가할 가능성이있습니다. $\Phi(-\sqrt{n}/\sigma)$ $1$

사상자 수

의 예상 손실은 이 표준 일반 PDF에서 파란색 영역과 같습니다. 빨간색 영역은 아래의 대체 추정기의 예상 손실을 나타냅니다. 그들 사이의 청색 영역을 대체 차이 $\bar{x}$ 사이의 작은 빨간색 영역으로및 $-\sqrt{n}/(2\sigma)$ $0$ 및 $\sqrt{n}/(2\sigma)$ . 이 차이는증가함에 따라 커집니다. $\sqrt{n}/\sigma$ $n$

$\bar{x}+1/2$ $2\Phi(-\sqrt{n}/(2\sigma))$ $1/2$ $0$ $n$ $n$ $\mu+1/2 \ne \mu$

손실 기능

$\bar{x}$ $\bar{x}+1/2$ $n$

— 우버
소스

L_{2}

$L_2$

L_{2}

$L_2$

@ 매크로 생각은 다소 간접적이며 엄격하게 의도 된 것은 아니지만 자연 스럽다고 생각합니다. 그러나, 반례를 찾는 휴리스틱은 2 차와는 거리가 멀어 그러한 조작이 성공하지 못하는 손실에 초점을 맞춰야한다.

— whuber

귀하의 의견의 근거를 이해하지 못합니다. @Michael : 마지막 그림을보십시오. 일관된 추정량에 대한 예상 손실이

1 / 2

$1/2$ 일치하지 않는 추정기의 추정치는 (지수 적으로)

0

$0$ : 따라서 일관된 것보다 기하 급수적으로 낫습니다.

n

$n$ 커집니다.

— whuber

@Michael OK, 설명해 주셔서 감사합니다. 이와 관련하여, 비 이차 손실로 "장점"은 편견의 용어로 표현되지 않는다. 이 손실 함수를 비판 할 수도 있지만,이를 거부하고 싶지는 않습니다. 예를 들어, 데이터가 특정 공차로 제조 된 품목의 측정치이며 셔틀 오링 실패와 같이 비참한 상황을 모델링합니다. 또는 사업 파산의 재앙)에 대한 진정한 의미는 그러한 허용 오차를 벗어납니다.

— whuber

(+1) 훌륭한 답변, @whuber! 특히 병리학 적 느낌이 들지 않습니다.이 유형의 손실이 적용되는 많은 상황을 생각할 수 있습니다.

— MånsT