적분의 정확도를 추정하는 방법?

컴퓨터 그래픽에서 매우 일반적인 상황은 일부 픽셀의 색상이 실제 가치 함수의 적분과 동일하다는 것입니다. 함수가 분석적으로 풀기에는 너무 복잡하기 때문에 종종 수치 근사치가 남습니다. 그러나이 함수는 종종 계산하는 데 비용이 많이 들기 때문에 계산할 수있는 샘플 수에 크게 제약을받습니다. (예를 들어, 백만 개의 샘플을 가져 와서 그대로두기로 결정할 수는 없습니다.)

일반적으로 원하는 적분은 추정 적분이 "정확하게"될 때까지 무작위로 선택한 지점에서 함수를 평가하는 것입니다. 나의 실제 질문은 다음과 같습니다 : 당신은 어떻게 적분의 "정확도"를 추정합니까?

보다 구체적으로, 우리는 을 가지고 있는데, 이것은 복잡하고 느린 컴퓨터 알고리즘으로 구현됩니다. 추정하고 싶다$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

원하는 x에 대해 를 계산할 수 있지만 비용이 많이 듭니다. 따라서 우리 는 무작위로 여러 x 값 을 선택 하고 k에 대한 추정 이 수용 가능 해지면 중단 합니다. 물론이를 위해서는 현재 추정치가 얼마나 정확한지 알아야합니다.$f(x)$$x$$x$$k$

이런 종류의 문제에 어떤 통계 도구가 적합한 지조차 확실하지 않습니다. 그러나 f 에 대해 전혀 아무것도 모른다 면 문제를 해결할 수없는 것 같습니다. 예를 들어, f ( x ) 를 천 번 계산 하고 항상 0이면 추정 적분은 0이됩니다. 그러나 f 에 대해 아는 것은 없지만 샘플링하는 지점을 제외하고 어디에서나 f ( x ) = 1 , 000 , 000 일 가능성이 있으므로 추정치가 끔찍합니다!$f$$f(x)$$f$$f(x) = 1,000,000$

아마도 내 질문은 " 적분의 정확성을 추정 할 수 있도록 에 대해 무엇을 알아야$f$ 하는가?" 로 시작했을 것입니다. 예를 들어, 우리는 종종 가 음수가 될 수 없다는 것을 알고 있습니다. 이는 매우 관련성이 높은 사실로 보입니다.$f$

편집 : 좋아, 그래서 이것은 많은 응답을 생성 한 것으로 보입니다. 각각에 개별적으로 답장하는 대신 여기에 추가 배경을 작성하려고합니다.

나는 우리가에 대해 "아무것도"알지 말할 때 , 우리가 계산할 수 있음을 의미 F를 하지만, 우리는 그것에 대해 더 아무것도 몰라. 지식이 많을수록 더 나은 알고리즘을 사용할 수 있다고 기대합니다. 에 경계 아는 것 같다 F 및 / 또는의 1 차 미분 f를하는 것이 유용 할 것이다.$f$$f$$f$$f$

내가 생각하고있는 대부분의 문제에서 는 장면 형상과 고려중인 장면 내 위치에 따라 달라집니다. 분석적으로 해결할 수있는 멋지고 깔끔한 대수는 아닙니다. 일반적으로 f 는 광도를 나타냅니다. 분명히 빛의 강도는 절대로 음수가 될 수 없지만 양의 값이 얼마나 큰지에 대한 제한은 없습니다. 마지막으로 객체 가장자리는 일반적으로 f의 급격한 불연속을 초래 하며 일반적으로 이러한 위치를 예측할 수 없습니다.$f$$f$$f$

요컨대, 는 어리석게 지저분 해 졌기 때문에 첫 번째 전화 포트는 더 이상 정보가 없으면 어떻게 할 수 있는지 묻는 것이 었습니다. 적어도 상한과 하한이 없으면 대답은 "많은 지옥이 아닙니다"입니다. 따라서 여기에서 전진하기 위해 몇 가지 가정을 시작해야 할 것 같습니다.$f$

또한, "Monte Carlo"가 등장한 횟수를 감안할 때, 이런 종류의 통합에 대한 기술적 용어 인 것 같습니다.

$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$

$f$

이것에 대한 보충 독서는 물론 Niederreiter (1992) 논문이다.