랜덤 변수에 의해 생성 된 -algebra 는 무엇을 의미 합니까?

종종 (자체) 통계 연구 과정에서 " 임의 변수에 의해 생성 된 -algebra "라는 용어를 만났습니다 . 나는 Wikipedia에 대한 정의를 이해하지 못하지만 가장 중요한 것은 그 뒤에 직관을 얻지 못한다는 것입니다. 왜 / 언제 무작위 변수에 의해 생성 된 대수학이 필요 합니까? 그들의 의미는 무엇입니까? 나는 다음을 알고있다 :$\sigma$$\sigma-$

• 세트의 -algebra 는 를 포함하고 가 포함 된 의 서브 세트의 비어 있지 않은 콜렉션으로 , 보완 및 계산 가능한 결합으로 닫힙니다.$\sigma$$\Omega$$\Omega$$\Omega$
• 무한 샘플 공간에 확률 공간을 만들기 위해 -algebras를 소개 합니다. 특히, 가 셀 수없이 무한하다면, 측정 할 수없는 부분 집합 (확률을 정의 할 수없는 집합)이 존재할 수 있음을 알고 있습니다. 따라서 의 전원 세트를 이벤트 . 우리는 더 작은 세트를 필요로합니다. 이것은 여전히 ​​흥미로운 사건의 확률을 정의 할 수있을 정도로 충분히 크며, 임의의 변수의 수렴에 대해 이야기 할 수 있습니다.$\sigma$$\Omega$$\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$$\mathcal{F}$

간단히 말해, 나는 algebras에 대한 공정하고 직관적 인 이해를 가지고 있다고 생각 합니다. 나는 임의의 변수에 의해 생성 된 대수학에 대해 비슷한 이해를 원합니다 : 정의, 변수가 필요한 이유, 직관, 예 ...$\sigma-$$\sigma-$

임의의 변수 $X$ 고려하십시오 . 우리는 $X$ 가 $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ 에서 $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ 로 측정 할 수있는 함수일 뿐이 라는 것을 알고 있습니다 . 여기서 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 는 실제 라인의 Borel 세트입니다. 측정 가능성의 정의에 의해 우리는

그러나 실제로 Borel 세트의 사전 이미지는 모두 $\mathcal{A}$ 가 아닐 수 있지만 대신 그보다 훨씬 거친 하위 세트를 구성 할 수 있습니다. 이것을 확인하기 위해

사전 이미지의 속성을 사용하면 $\mathcal{\Sigma}$ 가 시그마 대수 임을 나타내는 것이 어렵지 않습니다 . 또한 $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ 이므로 즉시 $\mathcal{\Sigma}$ 는 서브 시그마 대수이다. 또한, 정의에 의해 맵핑 $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ 가 측정 가능 하다는 것을 쉽게 알 수있다. $\mathcal{\Sigma}$ 는 실제로 $X$ 를 임의의 변수로 만드는 가장 작은 시그마 대수입니다. 그런 종류의 다른 모든 시그마 대수는 최소한 $\mathcal{\Sigma}$. 우리가 임의의 변수 $X$ 사전 이미지를 다루는 이유 때문에 , 우리는 $\mathcal{\Sigma}$ 임의의 변수 $X$ 의해 유도 된 시그마 대수 라고 부릅니다 .

극단적 인 예는 다음과 같습니다. 상수 랜덤 변수 $X$ , 즉 $X(\omega) \equiv \alpha$ . 그러면 $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ 중 어느 하나에 해당 $\Omega$ 또는 $\varnothing$ 여부에 따라 $\alpha \in B$ . 이렇게 생성 된 시그마 대수는 사소한 것이며 따라서 $\mathcal{A}$ 확실히 포함됩니다 .

이것이 도움이되기를 바랍니다.