백도어 및 전면 도어 조정에 의한 인과 효과

아래의 인과 관계 그래프 에서 에 대한 의 인과 적 영향을 계산하려면 백도어 조정 및 현관 조정 조정 이론을 모두 사용할 수 있습니다. 즉 $X$ $Y$

P (y | do (X = x)) = \sum_{u} P (y | x, u) P (u)

$P(y | \textit{do}(X = x)) = \sum_u P(y | x, u) P(u)$

과

P (y | do (X = x)) = \sum_{z} P (z | x) \sum_{x^{'}} P (y | x^{'}, z) P (x^{'}) .

$P(y | \textit{do}(X = x)) = \sum_z P(z | x) \sum_{x'} P(y|x', z)P(x').$

두 가지 조정으로 인해 가 에 대해 동일한 인과 적 영향을 초래한다는 것을 보여주는 것은 쉬운 일 입니까? $X$ $Y$

— 재
소스

이것은 진짜 숙제입니까? 그런 다음 자체 학습 태그를 추가하십시오. 그러면 사람들이 힌트를 주면서 생각과 학습을 떠나게 할 수 있습니다. 당신이 무엇을 시도하고 어디에 붙어 있는지 알려주십시오. CV는 숙제 아웃소싱을위한 것이 아니라는 것을 기억하십시오 ...

— Knarpie

안녕하세요 Knarpie, 그것은 자율 학습의 일부이며 숙제가 아닙니다. 현재 Pearl et al.의 "Causal Inference in Statistics"를 읽고 있습니다. 자연스럽게 물어볼 수는 있지만 평등을 보여줄 수는 없었기 때문에 위에서 한 질문에 대해 약 1 시간을 숙고합니다. 여기에 뭔가 빠졌거나 두 표현이 같지 않습니다.

— Jae

$do(x)$ $X$ $x$ $X$ $X$ $X$

$P$ $P^*$ $P^*$ $P$ $P^*$ $U \perp X$ $P^*(U) = P(U)$ $P^*(Y|X, U) = P(Y|X, U)$

\begin{aligned} P (Y | d o (X)) & := P^{*} (Y | X) \\ = \sum_{U} P^{*} (Y | X, U) P^{*} (U | X) \\ = \sum_{U} P^{*} (Y | X, U) P^{*} (U) \\ = \sum_{U} P (Y | X, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} P(Y|do(X)) &:= P^*(Y|X) \\ &=\sum_{U}P^*(Y|X, U)P^*(U|X)\\ &=\sum_{U}P^*(Y|X, U)P^*(U)\\ &=\sum_{U}P(Y|X, U)P(U) \end{aligned}$

$X$ $Z$

P (Z | d o (X)) = P (Z | X)

$P(Z|do(X)) = P(Z|X)$

$P(Y|do(X))$ $X$ $Z$ $Y$

P (Y | d o (Z)) = \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'})

$P(Y|do(Z)) = \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X')$

다음 표현의 표기법 편의를 위해 소수를 사용합니다. 따라서이 두 표현은 이미 개입 전 분포와 관련이 있으며 이전 백도어 이론적 근거를 사용하여 도출했습니다.

$X$ $Y$ $Z$ $Y$ $X$ $Z$ $P(Y|Z, do(X)) = P(Y|do(Z), do(X)) = P(Y|do(Z))$ $X$ $Y$ $Z$ $Z$ $Y$ $X$

\begin{aligned} P (Y | d o (X)) & = \sum_{Z} P (Y | Z, d o (X)) P (Z | d o (X)) \\ = \sum_{Z} P (Y | d o (Z)) P (Z | d o (X)) \\ = \sum_{Z} \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) P (Z | X) \\ = \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) \end{aligned}

$\begin{aligned} P(Y|do(X)) &= \sum_{Z} P(Y|Z, do(X))P(Z|do(X))\\ &= \sum_{Z} P(Y|do(Z))P(Z|do(X))\\ &= \sum_{Z} \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X')P(Z|X)\\ &= \sum_{Z}P(Z|X) \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X') \end{aligned}$

$\sum_{Z} P(Y|do(Z))P(Z|do(X))$ $Z$ $Y$ $P(Y|do(Z))$ $X$ $Z$ $X$ $P(Z|do(X))$

따라서 두 가지 조정을 통해이 그래프에서 동일한 중재 후 분포를 얻을 수 있습니다.

귀하의 질문을 다시 읽으면 두 방정식의 오른쪽이 중재 전 분포 (이전 파생에서 주어진 것이어야 함)에서 동일하다는 것을 직접 보여주는 데 관심이있을 수 있습니다. 직접 보여 주기도 어렵지 않습니다. DAG에 표시하면 충분합니다.

\sum_{X^{'}} P (Y | Z, X^{'}) P (X^{'}) = \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U)

$\sum_{X'}P(Y|Z, X') P(X') = \sum_{U}P(Y|Z, U) P(U)$

$Y \perp X|U, Z$ $U \perp Z|X$

\begin{aligned} \sum_{X^{'}} P (Y | Z, X^{'}) P (X^{'}) & = \sum_{X^{'}} (\sum_{U} P (Y | Z, X^{'}, U) P (U | Z, X^{'})) P (X^{'}) \\ = \sum_{X^{'}} (\sum_{U} P (Y | Z, U) P (U | X^{'})) P (X^{'}) \\ = \sum_{U} P (Y | Z, U) \sum_{X^{'}} P (U | X^{'}) P (X^{'}) \\ = \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{X'}P(Y|Z, X') P(X') &= \sum_{X'}\left(\sum_{U}P(Y|Z, X', U)P(U|Z, X') \right)P(X') \\ &= \sum_{X'}\left(\sum_{U}P(Y|Z, U)P(U| X') \right)P(X') \\ &= \sum_{U}P(Y|Z, U) \sum_{X'}P(U| X')P(X') \\ &= \sum_{U}P(Y|Z, U) P(U) \\ \end{aligned}$

그 후:

\begin{aligned} \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) & = \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U) \\ = \sum_{U} P (U) \sum_{Z} P (Y | Z, U) P (Z | X) \\ = \sum_{U} P (U) \sum_{Z} P (Y | Z, X, U) P (Z | X, U) \\ = \sum_{U} P (Y | X, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{Z}P(Z|X) \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X') &= \sum_{Z}P(Z|X)\sum_{U}P(Y|Z, U) P(U)\\ &= \sum_{U}P(U)\sum_{Z}P(Y|Z, U)P(Z|X) \\ &= \sum_{U}P(U)\sum_{Z}P(Y|Z, X, U)P(Z|X, U) \\ &= \sum_{U}P(Y| X, U) P(U)\\ \end{aligned}$

— 카를로스시 넬리
소스

P (Y | d o (X))

$P(Y|do(X))$

\sum_{Z} P (Y | d o (Z)) P (Z | d o (X)

$\sum_{Z}P(Y|do(Z))P(Z|do(X)$

\sum_{Z} P (Y | Z, d o (X)) P (Z | d o (X))

$\sum_{Z}P(Y|Z, do(X))P(Z|do(X))$

@JulianSchuessler 그렇기 때문에 이해를 돕기 위해“생각할 수 있습니다”라고 썼지 만 문자 그대로는 아닙니다. 정문 파생에 관해서는 OP가 그것을 얻는 방법을 알고 있었기 때문에 분명하지 않았습니다.

— 카를로스시 넬리

좋은 대답입니다. 고마워, 카를로스 대답의 두 번째 부분은 내가 요청한 것과 정확히 일치합니다. 여기에 두 가지 후속 질문이 있습니다. 1) 두 번째 답변에서 표현을 대수적으로 조작하기 위해 어떤 검색 전략을 사용 했습니까? (표현식에서 충분히 squinting함으로써?) 검색 공간이 넓기 때문에 자동으로 동일한 결론을 내릴 수 있도록 알고리즘을 작성하는 방법이 궁금합니다.

— Jae

\sum_{z} P (Y | do (Z) P (Z | do (X))

$\sum_z P(Y|\textit{do}(Z)P(Z|\textit{do}(X))$

do (Z)

$\textit{do}(Z)$

Z

$Z$

Z

$Z$

@Jeevaka 이는 DAG로 인코딩 된 가정으로, 인수 분해와 시스템이 모듈 식, 자율적 인 부분으로 구성되어 있다고 가정합니다. 따라서

P (X, U)

$P(X, U)$

P (Y | X, U)

$P(Y|X, U)$

M

$M$

M^{*}

$M^*$

P

$P$

P^{*}

$P^*$

Y

$Y$

X

$X$

U

$U$