더 높은 것, 또는

저는 확률 테스트를 받았는데이 질문에 실제로 답할 수 없었습니다. 방금 다음과 같이 물었습니다.

" 는 임의의 변수 0 이므로 올바른 불평등을 사용하여 E (X ^ 2) ^ 3 또는 E (X ^ 3) ^ 2 보다 높거나 같은 것을 증명하십시오 .$X$$X$ $\geqslant$ $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

내가 생각할 수있는 유일한 것은 Jensen의 불평등이지만 실제로 적용하는 방법을 모르겠습니다.

이것은 Jensen 불평등에 의해 입증 될 수 있습니다.

힌트 : 경우 함수 는 에서 볼록합니다 (이 경우 가정 ). 그런 다음 Jensen 부등식은 이며 인 경우 다른 방법으로 arround.$\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

이제 변수를 비슷한 것으로 변환하고 관련 찾으십시오 .$\alpha$

랴푸 노프의 불평등 (참조 : Casella and Berger, 통계적 추론 4.7.6) :

에 대한 $1 < r < s < \infty$:

증명 :

Jensens의 볼록한 불평등 $\phi(x)$: $\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

치다 $\phi(Y) = Y^t$그런 다음 $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$ 어디 $Y = |X|^r$

대용품 $t = \frac{s}{r}$: $(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

일반적으로 $X >0$ 이것은 다음을 의미합니다.

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

X가 [0,1]에 대해 E (X)에 균일 한 분포를 가지고 있다고 가정$^2$) = $\frac{1}{3}$ 그래서 E (X$^2$)$^3$ = $\frac{1}{27}$ 그리고 E (X$^3$) =$\frac{1}{4}$ 그래서 E (X$^3$)$^2$= $\frac{1}{16}$. 따라서이 경우 E (X$^3$)$^2$ > E (X$^2$)$^3$. 이것을 일반화하거나 반례를 찾을 수 있습니까?