가우스 분포는 베타 분포의 특정 사례입니까?

당신이 보는 경우 와 베타 분포 $\alpha=\beta=4$ 그것은 매우 비슷 가우스 분포 . 하지만 그렇습니까? 베타 (4,4) 분포가 가우시안인지 여부를 어떻게 증명할 수 있습니까?

normal-distribution beta-distribution

— 사용자
소스

그들의 지원은 매우 다릅니다.

— Deep North

@DeepNorth-가우스 분포가 특정 종류의 베타 분포가 아니라고 제안하십니까?

— user1068636

제안하는 것 이상; 지원이 다르면 동일한 분포 일 수 없습니다.

— Glen_b-복원 모니카

그것들은 대칭적이고 다소 종 모양이지만 대칭 베타 (4,4 또는 다른 특정 값에 관계없이)는 실제로 가우시안이 아닙니다. 밀도를 보지 않고도 알 수 있습니다. 베타 분포는 (0,1)이고 모든 가우스 분포는 $(-\infty,\infty)$

비교를 좀 더 자세히 살펴 보겠습니다. 평균 0과 표준 편차 1 ( 표준화 된 베타 )을 갖도록 베타 (4,4)를 표준화 하고 밀도가 표준 가우스와 비교되는 방법을 살펴 보겠습니다.

표준화 된 베타 (4,4)는 -3에서 3 사이로 제한됩니다 (표준 가우시안은 임의의 값을 취할 수 있음). 또한 가우시안보다 피크가 적고 평균의 양쪽에서 표준 편차가 약 1 정도로 둥글다. 첨도는 27/11입니다 ( 2.45, 가우시안의 경우 3). $\approx$

더 큰 매개 변수 값을 가진 대칭 베타 분포는 가우시안에 더 가깝습니다.

매개 변수가 무한대에 가까워지면 표준화 된 대칭 베타가 표준 정규 분포에 접근합니다 ( 여기서 증명 ).

따라서 대칭 베타의 특정 사례는 Gaussian이 아니지만 적절하게 표준화 된 베타의 제한 사례는 Gaussian입니다. 우리는 가우시안의 Quantile 함수에 의해 변형 된 베타의 cdf를 보면이 접근법을보다 쉽게 볼 수 있습니다. 이 스케일에서 가우시안은 라인 에 놓이는 반면, 대칭 베타 제품군은 매개 변수가 점점 커짐에 따라 라인에 접근합니다 . $y=x$ $y=x$

아래 그림에서 우리는 라인 과 증가함에 따라 가우스 에 대한 beta ( , ) 접근 방식을보다 명확하게보기 위해 편차를 살펴 봅니다 . $y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

분산이 정확히 이되도록 베타 랜덤 변수를 반드시 표준화 할 필요는 없습니다 . 예를 들어, 스튜던트 랜덤 변수는 분산이 없습니다 . 만약 이면 로 증가하면 감소 수도 상기 와 같은 증가하면 분포의 중앙에 더 잘 맞는있을 것입니다

1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

— 헨리