두 대칭 rv의 차이에도 대칭 분포가 있습니까?

두 개의 다른 대칭 (중앙에 관한) 분포 와 가 있다면 , 차이 도 대칭 (중앙에 대한) 분포입니까? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median

— 알레시오 93
소스

의 분포는 "두 분포의 차이"가 아니라 대칭 적으로 분포 된 랜덤 변수 간의 차이의 분포입니다. 차이 분포 될 ; 이것은 배포가 아닙니다. 마찬가지로 pdfs의 차이는 pdf가 아닐 것입니다 ... 제목 설명을 수정하십시오

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@ Glen_b : OP의 제목을 편집하여 말했지만 앞으로는 직접 편집하십시오. 구어체 적으로 나는 모든 사람들이 OP의 의미를 이해했다고 생각합니다.

— smci

@smci 실제로, 나는 이유를 위해 OP를 직접하지 않고 OP에게 요청하기로 선택했습니다 (내 프로필을 확인하면 3100 개가 넘는 게시물이 편집 된 것을 볼 수 있습니다-편집에 대한 일반적인 규칙을 이해합니다). 도와 주셔서 감사합니다. 또한 의미하는 내용을 표현하는 데 조금 더주의를 기울여 현장에있는 초보자 질문의 상당 부분을 해결할 수 있다고 생각합니다. 제목에서 명확성이 특히 중요 하다고 생각합니다 .

— Glen_b-복지 주 모니카

답변:

하자 과 일 PDF는 중앙값으로 대칭 및 각각. 만큼 및 독립적으로, 상기 차분의 확률 분포 의 컨볼 루션 인 및 , 즉 $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

여기서 는 중간 값 하여 를 초과하는 PDF $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

직관적으로 우리는 결과가 에 대해 대칭이 될 것으로 기대 하므로 시도해 봅시다. $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

두 번째 줄에서 나는 적분에 치환을 사용했습니다 . 세 번째 줄에서 나는 에 대한 와 에 대한 의 대칭을 모두 사용했습니다이 증명 대해 대칭 인 경우, 대해 대칭 및 에 대해 대칭 인 $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

경우 및 독립적이지했고, 와 다음 우리는 공동의 분포를 알 필요가 단순히 한계 분포했다,그런 다음 적분에서 를 로 바꿔야그러나 한계 분포가 대칭이기 때문에 관절 분포가 각 인수에 대해 대칭임을 의미하지는 않습니다. 따라서 비슷한 추론을 적용 할 수 없습니다. $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

— 브리지 버너
소스

이것은 와 의 관계에 따라 달라집니다. 여기에 와 가 대칭이지만 가 아닌 카운터 예가 있습니다 : $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

따라서 여기서 의 중앙값은 중앙값의 차이와 같지 않으며 는 대칭이 아닙니다. $x-y$ $x-y$

편집하다

이것은 @ whuber의 표기법에서 더 명확 할 수 있습니다.

다음 쌍 중 하나만 선택할 수 있도록 와 가 관련 되는 불연속 균일 분포를 고려하십시오 . $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

전체 관절 분포를 생각할 경우 가 임의의 값 을 취할 수 있고 가 값 취할 수있는 경우를 고려하십시오. 및 조합은 25 쌍 중 하나를 사용할 수 있습니다. 그러나 위의 주어진 쌍의 확률은 각각 16 %이며 다른 모든 가능한 쌍은 각각 1 %의 확률을가집니다. 의 한계 분포는 20 % 확률을 가지며 따라서 0의 중앙값에 대해 대칭 인 불연속 균일 할 것이며, 대해서도 마찬가지입니다 . 관절 분포에서 큰 표본을 추출하여 또는 만 봅니다. $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ 균일 한 한계 분포 (대칭)를 볼 수 있지만 차이를 취 하면 결과는 대칭이 아닙니다. $x-y$

— 그렉 스노우
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나는이 예를 전혀 이해하지 못한다. 경우 4와 동일 할 수 있으며, 1 예와 같다 할 수 있습니다, 다음 3이 될 수있을 것입니다,하지만 당신은 이러한 가능성을 나열하지 않습니다. 어쩌면 나는 당신의 모범을 오해 할 것입니다. 이 세 가지 벡터는 무엇입니까?

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

— amoeba

x

$x$ 와 는 그의 예에서 독립적이지 않습니다. , , 를 각 벡터에 색인을 생성하는 임의의 변수 함수로 생각하십시오 . 그런 다음 , , 및

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

— Moormanly

와 가 독립적이지 않다고 생각 하면 실제로는 를 이변 량 랜덤 변수로보고있는 것입니다. 이와 같이 대칭 마진은 관절 분포가 대칭임을 의미하지 않습니다. 그것은 훌륭한 관찰이지만이 답변의 표기법은 혼란 스럽습니다. 이변 량 표기법으로 데이터를 .

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

— whuber

@amoeba, 와 의 관계에 따라 달라집니다. 독립적이거나 약하게 의존적이라면 네가 말할 수 있습니다. 그러나 내 예는 두 변수 사이의 강한 의존성입니다. X가 인치 단위이고 y가 센티미터 단위 인 경우 이 가능한 값이고 이 가능한 값이지만 동일한 객체에 대해 동시에는 아닙니다.

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

— Greg Snow

의견과 편집 내용에 의미가 명확 해졌습니다. 감사.

— amoeba

이것이 일반적으로 유지 되려면 X와 Y 사이의 독립성을 가정해야합니다. 의 분포 는 대칭 함수의 컨벌루션이며 대칭이기도하기 때문에 결과는 직접 따릅니다 . $X-Y$

— 무어 맨리
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