도시 표준 코시이고 표준 인 코시을

9

경우 의 분포를 찾는 . $X\sim\mathcal C(0,1)$ $Y=\frac{2X}{1-X^2}$

우리는 $F_Y(y)=\mathrm{Pr}(Y\le y)$

$\qquad\qquad\qquad=\mathrm{Pr}\left(\frac{2X}{1-X^2}\le y\right)$

$\qquad\qquad=\begin{cases} \mathrm{Pr}\left(X\in\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right)+\mathrm{Pr}\left(X\in\left(-1,\frac{-1+\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right),\text{if}\quad y>0\\ \mathrm{Pr}\left(X\in\left(-1,\frac{-1+\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right)+\mathrm{Pr}\left(X\in\left(1,\frac{-1-\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right),\text{if}\quad y<0 \end{cases}$

위의 경우 구별이 올바른지 궁금합니다.

반면에 다음은 더 간단한 방법으로 보입니다.

ID 사용하여 를 쓸 수 있습니다. $Y=\tan(2\tan^{-1}X)$ $\frac{2\tan z}{1-\tan^2z}=\tan 2z$

이제 $X\sim\mathcal C(0,1)\implies\tan^{-1}X\sim\mathcal R\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$

$\qquad\qquad\qquad\quad\implies 2\tan^{-1}X\sim\mathcal R(-\pi,\pi)$

$\qquad\qquad\qquad\quad\implies\tan\left(2\tan^{-1}X\right)\sim\mathcal C(0,1)$ , 마지막 것은 2 대 1 변환입니다.

그러나 정의에서 의 분포를 도출하라는 요청을 받으면 첫 번째 방법은 어떻게 진행해야하는지 추측합니다. 계산이 약간 어려워 지지만 올바른 결론에 도달합니까? 대체 솔루션도 환영합니다. $Y$

Johnson-Kotz-Balakrishnan의 연속 일 변량 분포 (Vol.1) 는 Cauchy 분포의이 특성을 강조했습니다. 결과적으로 이것은 일반적인 결과의 특별한 경우입니다.

— 완고한 원자
소스

4

두 번째 해결책은 완전히 정확하므로 반대 의견이 없습니다.

— 시안

1

부록 : 이므로 첫 번째 해결 방법은 접선에서이 항등식을 사용해야합니다.

P (X < x) = \tan^{- 1} (x) / π + 1 / 2

$P(X<x)=\tan^{-1}(x)/\pi+1/2$

— Xi'an

@ Xi'an 실제로 첫 번째 방법으로 인수를 마무리하려고합니다.

— StubbornAtom

6

보다 간단하고 대안적인 방법 :

표준 코시 분포 :

에프 (엑스) 디 엑스 = \frac{π^{- 1}}{{엑스}^{2} + 1} 디 엑스

$f(x) \text{d}x = \frac{\pi^{-1}}{x^2+1} \text{d}x$

변수의 변환 :

유 (엑스) = \frac{2 엑스}{1 - {엑스}^{2}} 과 {엑스}_{1} (유) = \frac{- 1 - \sqrt{유^{2} + 1}}{유}, {엑스}_{2} (유) = \frac{- 1 + \sqrt{유^{2} + 1}}{유}

$u(x) = \frac{2x}{1-x^2} \qquad \text{and} \qquad x_1(u) = \frac{-1 - \sqrt{u^2+1}}{u} \, , \, x_2(u) = \frac{-1 + \sqrt{u^2+1}}{u}$

분포의 변환 :

지 (유) 디 유 = \sum_{나는 = 1, 2} 에프 ({엑스}_{나는} (유)) | \frac{디 {엑스}_{나는}}{디 유} | 디 유

$g(u)\text{d}u = \sum_{i=1,2} f(x_i(u)) \left|\frac{\text{d}x_i}{\text{d}u}\right|\text{d}u$

그렇게 지저분해질 필요가없는 작업을하면

지 (유) = \frac{π^{- 1}}{유^{2} + 1}

$g(u) = \frac{\pi^{-1}}{u^2+1}$

그래픽 표현

이러한 종류의 작업은 와 동일하지만보다 명확하게 작성되었습니다. $\frac{2\tan z}{1-\tan^2z}=\tan 2z$

또는 분할 누적 분포 함수 사용한 표현과 유사 하지만 이제 . $F_Y(y) = Pr(Y \leq y)$ $f_Y(y) = Pr(y-\frac{1}{2}dy \leq Y\leq y+\frac{1}{2}dy)$

— Sextus Empiricus
소스

2

실제로, 가 주어진 대해 하나 이상의 루트를 가질 때 , 대한 와 같은 변환 공식 은따라서 필요에 따라 설명하는 내용은 실제로 공식에 포함됩니다.

x (u)

$x(u)$

u

$u$

x_{i} (u) = u

$x_i(u) =u$

i = 1, 2, \dots n

$i=1,2,\ldots n$

지 (유) = \sum_{나는 = 1}^{엔} 에프 ({엑스}_{나는} (유)) | \frac{디 {엑스}_{나는} (유)}{디 유} | .

$g(u) =\sum_{i=1}^n f(x_i(u))\left|\frac{\mathrm dx_i(u)}{\mathrm du}\right|.$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate 변경하겠습니다.

— Sextus Empiricus

3

두 번째 접근 방식의 변화에는 동기 부여가 부족한 것으로 보입니다 (일부 세부 정보도 채워야 함). 여기서는 특성 함수 계산에서 "신비한"변환을 백업하려고합니다.

의 특성 함수는 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 변환 시도를 제안 합니다. $Y$

\begin{aligned} φ_{와이} (티) = & 이자형 [{이자형}^{나는 티 와이}] = \int_{- \infty}^{\infty} {이자형}^{나는 티 \frac{2 엑스}{1 - {엑스}^{2}}} \frac{1}{π (1 + {엑스}^{2})} 디 엑스 \\ = & \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} {이자형}^{나는 티 \frac{2 엑스}{1 - {엑스}^{2}}} 디 아크 탄 엑스, \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_Y(t) = & E[e^{itY}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{it\frac{2x}{1 - x^2}} \frac{1}{\pi(1 + x^2)} dx \\ = & \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{it\frac{2x}{1 - x^2}} d\arctan x, \end{align}$

u = \arctan x

$u = \arctan x$

\begin{aligned} (1) & φ_{와이} (티) = \frac{1}{π} \int_{- π / 2}^{π / 2} {이자형}^{나는 티 \frac{2 탠 껍질 유}{1 - {탠 껍질}^{2} 유}} 디 유 = \frac{1}{π} \int_{- π / 2}^{π / 2} {이자형}^{나는 티 탠 껍질 (2 유)} 디 유 . \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_Y(t)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{it\frac{2\tan u}{1 - \tan^2 u}} du = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{it\tan(2u)}du. \tag{1} \end{align}$

우리의 목표는 의 적분 이 표준 Cauchy 랜덤 변수 의 특성 함수와 같다는 것을 보여주는 것입니다 . $(1)$ $X$

\begin{aligned} φ_{엑스} (티) = & \int_{- \infty}^{\infty} {이자형}^{나는 티 엑스} \frac{1}{π (1 + {엑스}^{2})} 디 엑스 \\ (2) & = & \frac{1}{π} \int_{- π / 2}^{π / 2} {이자형}^{나는 티 탠 껍질 유} 디 유 \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_X(t) = & \int_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{1}{\pi(1 + x^2)} dx \\ = & \frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{it\tan u} du \tag{2} \end{align}$

왜 의 적분이 의 적분과 같 습니까? 언뜻보기에 이것은 약간 반 직관적입니다. 이를 확인하려면 함수의 단 신중하게 처리해야합니다. 계속해서 작업 해 봅시다 : $(1)$ $(2)$ $\tan(\cdot)$ $(1)$

\begin{aligned} φ_{Y} (t) = & \frac{1}{π} \int_{- π / 2}^{π / 2} e^{i t \tan (2 u)} d u \\ = & \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} e^{i t \tan v} d v (Change of variable v = 2 u) \\ = & \frac{1}{2 π} [\int_{- π}^{- π / 2} + \int_{- π / 2}^{π / 2} + \int_{π / 2}^{π}] e^{i t \tan u} d u \\ = & \frac{1}{2} φ_{X} (t) + \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{- π / 2} e^{i t \tan v} d v + \frac{1}{2 π} \int_{π / 2}^{π} e^{i t \tan v} d v (3) \\ = & \frac{1}{2} φ_{X} (t) + \frac{1}{2 π} \int_{- π / 2}^{0} e^{- i t \tan u_{1}} d u_{1} + \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π / 2} e^{- i t \tan u_{2}} d u_{2} (4) \\ = & \frac{1}{2} φ_{X} (t) + \frac{1}{2 π} \int_{- π / 2}^{π / 2} e^{- i t \tan v} d v \\ = & φ_{X} (t) (5) \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_Y(t) = & \frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{it\tan(2u)}du \\ = & \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{it\tan v} dv \quad (\text{Change of variable } v = 2u) \\ = & \frac{1}{2\pi}\left[\int_{-\pi}^{-\pi/2} + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} + \int_{\pi/2}^{\pi}\right]e^{it\tan u} du \\ = & \frac{1}{2}\varphi_X(t) + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{-\pi/2}e^{it\tan v} dv + \frac{1}{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}e^{it\tan v} dv \quad (3) \\ = & \frac{1}{2}\varphi_X(t) + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi/2}^{0} e^{-it\tan u_1} du_1 + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} e^{-it\tan u_2} du_2 \quad (4) \\ = & \frac{1}{2}\varphi_X(t) + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{-it\tan v} dv \\ = & \varphi_X(t) \quad (5) \end{align}$

$(3)$ : 함수 는 구간 에서 모노톤이 아니기 때문에 분리 된 간격에서 각 정수가 모노톤이되도록 분할했습니다 (따라서 이후의 변경을 보장합니다) 변수 수식이 유효 함). $u \mapsto \tan(u)$ $(-\pi, \pi)$

$(4)$ : 변수 수식의 두 가지 변경은 및 입니다. $u_1 = -\pi - v$ $u_2 = \pi - v$

$(5)$ : 변수 수식 의 마지막 변경 . $u = -v$

단계 ~ 는 OP의 질문에서 "마지막은 2 대 1 변환"이라는 문장을 자세히 설명했습니다. $(3)$ $(5)$

— 잔 시옹
소스

왜 두 번째 접근 방식이 '신비한'또는 '동기 부여 부족'인지 궁금합니다. 사실 그 용이하게하는 매우 표준 결과는 확률 적분 변환을 사용하여 볼 수 있습니다. 그리고 에서 로가는 마지막 단계 는 다음과 같이 정당화 될 수 있습니다.

Θ \sim Rect (- π / 2, π / 2) \Leftrightarrow \tan (Θ) \sim C (0, 1)

$\Theta\sim\text{Rect}(-\pi/2,\pi/2)\Leftrightarrow \tan(\Theta)\sim\mathcal C(0,1)$

U \sim Rect (- π, π)

$U\sim\text{Rect}(-\pi,\pi)$

V = \tan U \sim C (0, 1)

$V=\tan U\sim\mathcal C(0,1)$

— StubbornAtom

... . 위의 wrt 를 구별하여 를 얻 . 여기서 Jacobian에 변환은 에서 2 대 1이기 때문에 2 입니다. 이 모든 것이 더 엄격하게 표현 될 수 있다고 생각합니다.

F_{V} (v) = P r (\tan U \leq v) = F_{U} (\tan^{- 1} v)

$F_V(v)=\mathrm{Pr}(\tan U\le v)=F_U(\tan^{-1}v)$

v

$v$

f_{V} (v) = f_{U} (\tan^{- 1} v) 2 \frac{d}{d v} (\tan^{- 1} v)

$f_V(v)=f_U(\tan^{-1}v)2\frac{d}{dv}(\tan^{-1}v)$

(- π, π)

$(-\pi,\pi)$

— StubbornAtom