동일한 분포 패밀리의 두 랜덤 변수가 동일한 기대치와 분산을 갖지만 더 높은 모멘트를 가질 수 있습니까?

나는 위치 규모 가족의 의미에 대해 생각하고있었습니다. 내 이해는 매개 변수 와 스케일을 가진 위치 스케일 패밀리의 모든 멤버에 대해 의 분포는 매개 변수에 의존하지 않으며 해당 패밀리에 속하는 모든 에 대해 동일 하다는 것입니다.a b Z = ( X − a ) / b $X$$a$$b$$Z =(X-a)/b$$X$

그래서 내 질문은 동일한 분포 패밀리의 두 랜덤이 표준화되었지만 분포가 동일한 랜덤 변수를 생성하지 않는 예를 제공 할 수 있습니까?

말 와 같은 분배 가족에서 오는 (가족과 함께 내가 예를 보통 또는 모두 감마 등 모두 의미 ..). 밝히다:$X$$Y$

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

과 는 모두 동일한 기대 및 분산, 입니다.Z 2 μ Z = 0 , σ 2 Z = $Z_1$$Z_2$$\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$

그러나 그들은 더 높은 순간을 가질 수 있습니까?

이 질문에 대한 나의 시도는 와 의 분포가 가능한 것보다 두 개 이상의 매개 변수에 의존한다는 것입니다. 그리고 나는 3 개의 매개 변수가 있는 일반화 된 에 대해 생각하고 있습니다.Y t - s t u d e n $X$$Y$$t-student$

그러나 모수의 수가 이고 와 가 동일한 기대 및 분산을 갖는 동일한 분포 제품군에서 나온 경우 과 가 동일한 분포 (더 높은 모멘트)를 의미합니까?X Y Z 1 Z $\le2$$X$$Y$$Z_1$$Z_2$

분포 계열이 무엇인지, 자유 매개 변수 대 자유 플러스 고정 (할당 된) 매개 변수를 계산하는 방법에 대해서는 약간의 혼동이 있습니다. 이러한 질문은 OP의 의도 및이 답변과 관련이없는 것입니다. 나는 혼동하기 때문에 가족 이라는 단어를 사용하지 않습니다 . 예를 들어 한 소스 에 따른 패밀리 는 모양 매개 변수를 변경 한 결과입니다. @whuber 는 가족의 "파라미터 화" 는 일반적인 토폴로지를 가진 ℝ n 의 부분 집합 에서 분포 공간으로의 연속적인 맵이며 이미지는 그 가족입니다. 단어 의 의도 된 사용법을 모두 포함 하는 단어 형식 을 사용합니다.$^n$ 제품군 및 매개 변수 식별 및 계산. 예를 들어 수식$x^2-2x+4$ 갖는 형태 이차 식을, 즉 2 X 2 + 1 X + 0 및 경우 1 = 0 화학식 여전히 차 형태이다. 그러나, 2 = 0$a_2x^2+a_1x+a_0$$a_1=0$$a_2=0$수식이 선형이고 양식이 2 차 도형 항을 포함하기에 더 이상 완전하지 않습니다. 적절한 통계적 맥락에서 가족이라는 단어를 사용하고자하는 사람들은 그 별도의 질문 에 기여하는 것이 좋습니다 .

"더 높은 순간을 가질 수 있을까요?"라는 질문에 답하겠습니다. 그러한 예가 많이 있습니다. 우리는이 질문이 단순한 이중 매개 변수 사례에서 위치와 스케일을 갖는 경향이있는 대칭 PDF에 관한 것으로 보인다는 점에 주목합니다. 논리 : 두 개의 동일한 (위치, 스케일) 매개 변수를 가진 다른 모양의 밀도 함수가 두 개 있다고 가정합니다. 그런 다음 모양을 조정하는 모양 매개 변수가 있거나 밀도 함수에 공통 모양 매개 변수가 없으므로 공통 형태가 아닌 밀도 함수입니다.

여기에 모양 매개 변수가 어떻게 그려 지는지에 대한 예가 있습니다. 일반화 오류 밀도 함수 및 여기서 , 자유롭게 선택 첨도가 나타나는 응답이다.

Skbkekas-자체 작업, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6057753

PDF (일명 "확률"밀도 함수, "확률"이라는 단어가 불필요한 것임)는

$$\dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} \; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta}$$

평균과 위치는 $\mu$ 이고 스케일은 $\alpha$ 이며 $\beta$ 는 모양입니다. 대칭 PDF를 표시하는 것이 더 쉽다는 점에 유의하십시오. 이러한 PDF는 종종 가장 간단한 두 개의 매개 변수 사례로 위치 및 스케일이 있으며, 감마 PDF 와 같은 비대칭 PDF 는 가장 간단한 케이스 매개 변수로 모양과 스케일이있는 경향이 있기 때문입니다. 오차 밀도 함수를 계속 진행하면 분산은 $\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$, 왜도는$0$, 첨도는$\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$. 우리는 (1)로 분산을 설정하면 따라서, 우리는 다음의 값이 할당$\alpha$으로부터$\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$변화시키면서$\beta>0$첨도는의 범위에서 선택할 그래서,$-0.601114$하는$\infty$.

즉, 더 높은 차수 모멘트를 변경하고 평균을 0으로 만들고 분산을 1로 유지하려면 모양을 변경해야합니다. 이는 일반적으로 1) 평균 또는 기타 적절한 위치 측정, 2) 분산 또는 기타 변동 측정을 조정하는 척도 및 3) 형태의 세 가지 매개 변수를 의미합니다. IT는 적어도 3 개의 매개 변수를 사용하여 IT를 수행합니다.

$\beta=2$ 치환 하면 $\alpha=\sqrt{2}\sigma$위의 PDF, 우리가 얻을 수있는

$$\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\;,$$

정규 분포의 밀도 함수입니다. 따라서 일반화 된 오차 밀도 함수 는 정규 분포의 밀도 함수의 일반화입니다. 정규 분포의 밀도 함수를 일반화하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 정규화 밀도 밀도 함수를 제한 값으로 만 사용하고 일반화 된 오차 밀도 함수와 같은 중간 범위 대체 값이 아닌 다른 예는 Student 's $-t$ 의 밀도 함수입니다. 학생의 사용 $-t$ 밀도 함수 것은, 우리는 첨도의 오히려 더 제한된 선택을, 그리고 것 $\textit{df}\geq2$ 번째 순간이 존재하지 않기 때문에 모양 매개 변수입니다 $\textit{df}<2$. 또한 df 는 실제로 양의 정수 값으로 제한되지 않으며 일반적으로 real $\geq1$ 입니다. Student 's $-t$ 는 $\textit{df}\rightarrow\infty$ 의 한계에서만 정상이 되므로 예제로 선택하지 않았습니다. 좋은 예도 아니고 반대의 예도 아니며, 여기에서는 @ Xi'an 및 @whuber에 동의하지 않습니다.

더 자세히 설명하겠습니다. 예를 들어 평균이 0이고 분산이 1 인 두 매개 변수의 여러 임의 밀도 함수 중 두 개를 선택할 수 있습니다. 그러나 그것들이 모두 같은 형태는 아닙니다. 그러나 문제는 다른 형태가 아닌 SAME 형태의 밀도 함수와 관련이 있습니다. 어떤 밀도 함수가 같은 형태를 갖는지는 이것이 정의의 문제이기 때문에 임의의 과제이며 내 의견이 다르다는 주장이 제기되었습니다. 하나의 밀도 함수를 다른 밀도 함수로 변환하거나 다른 함수로 변환 할 수 없기 때문에 이것이 임의적이라는 데 동의하지 않습니다. 첫 번째 경우 밀도 함수는 비슷하며, 대체하여 밀도 함수가 동일하지 않다는 것을 나타낼 수 있으면 밀도 함수는 다른 형식입니다.

따라서, 학생의 예를 사용하여 $-t$ PDF를 선택 중 하나는 정상적인 PDF는 학생에 대한 허용 양식을 가지고있는 경우 정상 PDF의 일반화 될 것으로 생각한다 $-t$ 의 PDF, 여부, 이 경우 학생 $-t$ 의 PDF 정상적인 PDF에서 다른 형태입니다 때문에 제기 된 질문에 무관하다 .

우리는 여러 가지 방법으로 논쟁 할 수 있습니다. 내 의견은 정상적인 PDF는 학생의 하위 선택한 양식이라는 것이다 $-t$ 의 PDF,하지만 정상적인 PDF는 감마 PDF의 제한 값으로 표시 할 수 있지만 감마 PDF의 하위 선택이 아니라고 이것에 대한 나의 이유는 일반 / 학생 '에 있다는 것입니다, 정상적인 PDF, 그리고 $-t$ 경우, 지원이 동일하지만 일반 / 감마 경우에 지원이 필요한 비 호환성은 반 무한 대 무한 .

"공식적으로 명명 된 매개 변수화 된 배포 패밀리 인 예제를 원한다면 일반화 된 감마 분포 ( https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distribution)를 살펴볼 수 있습니다 .이 배포 패밀리에는 세 개의 매개 변수가 있으므로 평균을 수정할 수 있습니다 Wiki 페이지에서 대수는 매력적으로 보지 않고 수치 적으로 표시하고 싶습니다. 통계적 응용 프로그램의 경우이 사이트에서 gam (일반 첨가제)의 확장 인 gamlss를 검색하십시오. 모델 자체는 "위치, 스케일 및 모양"에 대한 매개 변수를 갖는 glm의 일반화).

또 다른 예는 위치 분포 패밀리로 확장 된 $t$ 분포입니다. 그런 다음 세 번째 매개 변수는 자유도이며 고정 위치 및 배율에 대한 모양을 경고합니다.

가 제로 평균과 분산 하나 분포 무한한 그러므로 가지고있다 발언권이 분포들 중 하나로부터 분배를 N ( 0 , 1 ) , 및 ε (2) 이 분포 서로 학생의 말 t (54 개)도 함께를 √에 의해 재조정 된 자유$\epsilon_1$$\mathcal{N}(0,1)$$\epsilon_2$$t$ 의 분산이 1이되도록 한 다음 X=μ+σϵ$\sqrt\frac{1}{3}$ 는 언급 한 속성을 즐기십시오. 매개 변수의 "숫자"는 속성과 관련이 없습니다.

$$X=\mu+\sigma\epsilon_1\qquad\text{and}\qquad Y=\mu+\sigma\epsilon_2$$

분명히, 예를 들어 X 의 밀도 가 1 이 되도록 고정 밀도 가 존재한다고 말하는 것과 같이이 패밀리의 정의에 대한 추가 규칙을 설정하면$f$$X$단일 분포로 끝날 수 있습니다.

$$\frac{1}{\sigma^d} f(\{x-\mu\}/\sigma)$$

동일한 위치 스케일 패밀리에서 나오는 두 개의 임의 변수가 동일한 평균과 분산을 가질 수 있지만 적어도 하나 이상의 다른 순간을 가질 수 있는지 묻고 있다고 생각합니다. 대답은 '아니오.

증명 : 과 X 2 는 두 개의 임의 변수입니다. 이후 X 1 및 X 2가 동일한 위치 스케일 가정에있는, 랜덤 변수의 존재 X 및 실수 1 > 0 , 2 > 0 , b를 1 , b를 이 되도록 X 1 D = 1 X + B 1 및 X 2 d = a 2$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X$$a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$$X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$ . 이후 X 1 및 X 2는 같은 평균과 분산을 가지고, 우리는이 :$X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$$X_1$$X_2$

1. .$E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$
2. .$\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$

만약 , 다음 X 1 = E [ X 1 ] = X 2 = E [ X 2 ] 확률 1 , 및 따라서 더 높은 순간 X 1 및 X 2 모두 동일하다. 따라서 Var [ X ] ≠ 0 이라고 가정 할 수 있습니다 . 이것을 사용하면 (2)는 | 1 | = | 2 | . 이후$\operatorname{Var}[X] = 0$$X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$$1$$X_1$$X_2$$\operatorname{Var}[X] \neq 0$$|a_1|=|a_2|$ 및 a 2 > 0 이면 실제로 a 1 = a 2 입니다. 차례로, 위의 (1)은 이제 b 1 = b 2 임을 의미합니다. 그러므로 우리는 다음과 같은 것을 가진다 : E [ X k 1 ] = E [ ( a 1 X + b 1 ) k ] = E [ ( a 2 X + b 2 ) k ] $a_1>0$$a_2>0$$a_1=a_2$$b_1=b_2$ 임의의 k에 대해 , 즉 X 1 및 X 2 의 모든 모멘트는 모두 동일하다.

$$E[X_1^k] = E[(a_1X+b_1)^k] = E[(a_2X+b_2)^k] = E[X_2^k],$$ $k$$X_1$$X_2$

질문은 여러 가지 방법으로 해석 될 수 있으므로이 답변을 두 부분으로 나눕니다.

• A : 배포 가족.
• B : 위치 규모 분포 제품군.

케이스 A의 문제는 모양 매개 변수가있는 많은 패밀리에서 쉽게 응답 / 시연 할 수 있습니다.

사례 B의 문제는 1.5 개의 매개 변수가 위치 및 스케일 ( $\mathbb{R}$ 위치 및 $\mathbb{R_{>0}}$ 스케일) 을 지정하기에 충분 해 보이고 두 개의 매개 변수를 사용하여 인코딩 할 수 있는지 여부 (여러 개) 이므로 더 어렵습니다. 또한 모양. 이것은 그리 사소한 것이 아닙니다. 특정 두 개의 매개 변수 위치 축척 패밀리를 쉽게 구할 수 있으며 다른 모양이 없다는 것을 증명할 수 있지만 이것이 두 개의 매개 변수 위치 축척 패밀리에 대해 정해진 규칙임을 증명하지는 않습니다.

A : 동일한 2 모수 분포 패밀리의 두 가지 분포가 동일한 평균과 분산을 가질 수 있습니까?

대답은 ' 예' 이며 이미 언급 된 예 중 하나를 사용하여 이미 표시 할 수 있습니다. 정규화 된 감마 분포

정규화 된 감마 분포 제품군

Z = X − μ라고 하자$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ 와$X$감마 분포 변수입니다. $Z$의 (누적) 분포는 다음과 같습니다.

$$F_Z(z;k) = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} & z < -\sqrt{k}\\ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, {z\sqrt{k}+k}) & \quad \text{if} & z \geq -\sqrt{k} \end{cases}$$

여기서 $\gamma$ 는 불완전한 감마 함수입니다.

따라서 다른 $Z_1$ 및 $Z_2$ (정규화 된 감마 분포 계열의 분포)가 동일한 평균 및 분산 (즉, $\mu=0$ 및 $\sigma=1$ )을 가질 수 있지만 매개 변수 $k$ (종종 표시됨) 에 따라 다를 수 있습니다 '모양'매개 변수). 이것은 감마 분포 패밀리가 위치 규모 패밀리가 아니라는 사실과 밀접한 관련이 있습니다.

B : 동일한 두 모수 위치 척도 분포 패밀리의 두 가지 분포 가 동일한 평균과 분산을 가질 수 있습니까?

부드러운 패밀리 만 고려하면 대답이 ' 아니요' 라고 생각합니다 (부드럽게 : 매개 변수를 조금만 변경하면 분포 / 함수 / 곡선이 약간 변경됨). 그러나 그 대답은 그리 사소한 것이 아니며 우리가 더 일반적인 (부드럽 지 않은) 가족을 사용할 때 yes 라고 말할 수 있습니다. 이 가족은 이론에만 존재하며 실질적인 관련성이 없습니다.

번역 및 스케일링을 통해 단일 배포에서 위치 스케일 패밀리 생성

특정 단일 배포에서 번역 및 스케일링을 통해 위치 스케일 패밀리를 생성 할 수 있습니다. 경우 $f(x)$ 단일 분포의 확률 밀도 함수가 될 가족의 구성원에 대한 다음 확률 밀도 함수이다

$$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}f(\frac{x-\mu}{\sigma})$$

이러한 방식으로 생성 될 수있는 위치 규모 제품군의 경우 다음과 같습니다.

• $f(x;\mu_1,\sigma_1)$$f(x;\mu_2,\sigma_2)$$f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

두 매개 변수 위치 스케일 패밀리 모두에 대해 멤버 분배를 단일 멤버 분배에서 변환 및 스케일링으로 생성 할 수 있습니까?

$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

정규 분포 패밀리와 같은 특히 두 개의 매개 변수 위치 스케일 패밀리의 경우 위의 프로세스 (단일 예제 멤버의 스케일링 및 변환)에 따라 생성 될 수 있음을 보여주는 것은 어렵지 않습니다.

하나는 것이 가능한지 궁금 할 때마다 두 개의 매개 변수 위치 규모의 가족이 번역 및 스케일링에 의해 하나의 부재로 출력을 생성 할 수 있습니다. 또는 상충되는 진술 : "두 개의 매개 변수 위치 척도 패밀리에 평균과 분산이 동일한 두 개의 다른 멤버 분포를 포함 할 수 있습니까?". 이 경우 패밀리는 번역에 의해 생성 된 여러 하위 패밀리 의 조합 이어야 합니다. 스케일링.

사례 1 : 두 개의 변수로 매개 변수화 된 일반화 된 학생의 t- 분포 패밀리

$R^2$$R^3$$\theta_1$$\theta_2$

일반화 된 스튜던트 t- 분포 (세 가지 모수)를 사용합시다 :

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

로 다음과 같이 변경된 세 매개 변수

$$\begin{array}{rcl} \mu &=& \tan (\theta_1)\\ \sigma &=& \theta_2\\ \nu &=& \lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor \end{array}$$

우리는

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

단일 멤버의 변환 및 스케일링으로 생성 할 수없는 두 개의 매개 변수 위치 스케일 제품군 (매우 유용하지는 않지만)으로 간주 될 수 있습니다.

사례 2 : 비제로 스큐를 사용하여 단일 분포의 음의 스케일링으로 생성 된 위치 스케일 패밀리

$x \mapsto f(x/b + a)$$b$

부드러운 가족

$f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$Peano 곡선과 같은 작업을 수행하는 연속 기능).

$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

$$\begin{array}{rcl} \theta_1 &= &f_{\theta_1}(\mu,\sigma) \\ \theta_2 &=& f_{\theta_2}(\mu,\sigma)\end{array}$$

$f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$$\mu$$\sigma$

$\theta_1$$\theta_1$$f(x;\theta_1)$$x$