표준 편차에 대한 삼각법 연산

정규 확률 변수의 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기가 잘 정의되어 있지만 삼각법 연산은 어떻습니까?

예를 들어, 치수가 $d_1$ 과 $d_2$ 인 두 카테 티를 가진 삼각형 쐐기 (직각 삼각형으로 모델링 됨)의 각도를 찾으려고한다고 가정합시다 .

직감과 시뮬레이션 모두 결과 분포가 평균이며 평균 $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$ . 그러나 결과 각도의 분포를 계산하는 방법이 있습니까? 답을 어디에서 찾을 수 있습니까?

(약간의 맥락에서, 나는 기계 부품의 통계적 공차를 연구하고 있습니다. 첫 번째 충동은 단순히 전체 프로세스를 시뮬레이션하고 최종 결과가 합리적으로 정상인지 확인하고 표준 편차를 계산하는 것입니다.하지만 궁금합니다. 더 깔끔한 분석적 접근이있을 수 있습니다.)

— 보세 키나
소스

(a) d1과 d2가 측면 길이 (각도 아님)인지 확인할 수 있습니까? (b) 당신이 그들 사이의 각도가 직각이라고 가정하고 (그렇지 않으면 아탄 공식이 의심되는 경우); (c)이 직각 삼각형의 다른 각도 중 하나의 분포에 관심이 있습니까? 또한 각 길이 분포의 SD는 예상 한 것보다 훨씬 작습니다. 삼각형은 음의 길이가 눈에 띄는 확률을 가져서는 안되기 때문입니다 :-).

— whuber

정확한. 좀 더 명확하게하기 위해 문제를 다시 설명했습니다. 그리고 예, SD는 치수에 비해 작습니다.

— Bossykena

곱셈과 덧셈에 수식을 사용하면 Taylor 확장을 시도 할 수 있습니다.

(제한된 통계 전문 지식으로 알 수있는 한) 직관적이고 건전한 훌륭한 답변에 감사드립니다.

— Bossykena

답변:

이 해석에서 삼각형은 기대 길이 및 , 표준 편차 및 및 상관 관계 와 함께 비정규 적으로 분포 된 측면 길이 및 직각 삼각형입니다 . 우리는 의 분포를 찾는다 . 이를 위해 와 표준화 하여 $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

및

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

와 및 상관 관계와 표준 정규 variates . 하자 각도 및 편의 쓰기이 될 . 그때 $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

좌변은 법선의 선형 조합 인 평균이며 평균 및 분산 입니다. $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

와 관련하여 이러한 매개 변수의 법선 cdf를 차별화하면 각도의 pdf가 생성됩니다. 표현은 상당히 유쾌하지만 그 핵심은 지수입니다. $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

각도가 정상적으로 분포 되어 있지 않음을 즉시 보여줍니다 . 그러나 시뮬레이션에서 알 수 있듯이 직관에서 알 수 있듯이 측면 길이의 길이가 길이 자체와 비교하여 작 으면 대략 정상이어야합니다. 이 경우 새들 점 근사값 은 닫힌 형식의 일반 솔루션을 사용할 수 없지만 , , , 및 의 특정 값에 대해 좋은 결과를 가져와야 합니다. 근사 표준 편차는 2 차 미분을 발견하면 바로 사라집니다 ( 와 관련하여) $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ )를 pdf의 로그의 대수 (참조의 식 (2.6) 및 (3.1) 참조) 이것을 수행하기 위해 컴퓨터 대수 시스템 (MatLab 또는 Mathematica와 같은)을 권장합니다!

— 우버
소스

정상적으로 배포 될 가능성은 없었습니다. 각도입니다!

값만받습니다 .

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

— Robby McKilliam

X가 정규 rv이면 P (Y / X

q) = P (Y

qX)가 올바르지 않습니다.-X 도 음수 일 수 있습니다.

\leq

$\le$

\leq

$\le$

— ronaf

@ronaf : 실제로

와

는 실제 삼각형의 변 길이이므로 음의

가져서는 안됩니다 !

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— shabbychef

@ronaf : 맞습니다. 부호있는 측면 길이를 사용하고 각도를 실제 값 (모듈러스

대신)으로 간주하면 두 경우 모두 정규성과 불일치가 없습니다. 불평등에 관한 당신의 요점은 훌륭합니다. 내가 대답 할 수있는 것은 X 나 Y가 음일 확률은 무시할 수 있기 때문에 그 가정에서이 방정식은 훌륭한 근사치라고 주장하는 것입니다.

2 π

$2\pi$

— whuber

@YBE 저의 표현에서 마지막 "+"가 속하지 않는 것 같습니다. TeX 마크 업을 정리할 때 미끄러 졌을 수도 있습니다. 파생 상품을 직접 계산했기 때문에 참조가 없습니다.

— whuber

당신이보고있는 원형 통계 특히 원형 분포는 호출 정규 분포를 예상 .

어떤 이유로이 주제는 구글에 조금 어려울 수 있지만 순환 통계에 대한 두 가지 주요 텍스트는 Fisher에 의한 순환 데이터의 통계 분석 및 Mardia 및 Jupp의 방향 통계 입니다.

예상 정규 분포에 대한 철저한 분석은 Mardia and Jupp의 46 페이지를 참조하십시오. 분포에 대해 닫힌 양식 표현식 (오류 함수 적분까지)이 있으며 whuber가 제안한 것처럼 '분산'(여기주의, 분산은 원의 임의 변수에 대해 무엇을 의미합니까? !)가 작습니다. 즉 분포가 한 지점 (또는 방향 또는 각도)에 상당히 집중되어있을 때입니다.

— 로비 맥킬 리엄
소스