R에서 이항 glm의 반응에 대한 입력 형식

에서 R의 사용을위한 회귀 입력 데이터를 포맷하기위한 세 가지 방법이있다 glm기능 :

1. 데이터는 각 관측치에 대해 "이진"형식 일 수 있습니다 (예 : 각 관측치에 대해 y = 0 또는 1).
2. 데이터는 "Wilkinson-Rogers"형식 일 수 있으며 (예를 들어, y = cbind(success, failure)각 행은 하나의 처리를 나타냄); 또는
3. 데이터는 각 관측치에 대한 가중치 형식 (예 : y = 0.3, 가중치 = 10) 일 수 있습니다.

세 가지 접근법 모두 동일한 계수 추정치를 생성하지만 자유 도와 결과 편차 값 및 AIC 점수는 다릅니다. 마지막 두 방법은 관측치 수에 대해 각 처리를 사용하는 반면 첫 번째 방법은 관측치 수에 대해 각 관측치를 사용하기 때문에 관측치가 적으므로 자유도가 낮아집니다.

내 질문 : 하나의 입력 형식을 다른 형식보다 사용하면 수치 적 또는 통계적 이점이 있습니까? 내가 볼 수있는 유일한 장점 R은 모델과 함께 사용하기 위해 데이터를 다시 포맷 할 필요가 없다는 것 입니다.

나는 glm documentation 을 보았고 웹과이 사이트를 검색하여 접선 적으로 관련된 게시물을 찾았 지만이 주제에 대한 지침은 없습니다.

다음은이 동작을 보여주는 시뮬레이션 된 예입니다.

# Write function to help simulate data
drc4 <- function(x, b =1.0, c = 0, d = 1, e = 0){
    (d - c)/ (1 + exp(-b * (log(x)  - log(e))))
}
# simulate long form of dataset
nReps = 20
dfLong <- data.frame(dose = rep(seq(0, 10, by = 2), each = nReps))
dfLong$mortality <-rbinom(n = dim(dfLong)[1], size = 1,
                              prob = drc4(dfLong$dose, b = 2, e = 5))

# aggregate to create short form of dataset
dfShort <- aggregate(dfLong$mortality, by = list(dfLong$dose), 
                     FUN = sum)
colnames(dfShort) <- c("dose", "mortality")
dfShort$survival <- nReps - dfShort$mortality 
dfShort$nReps <- nReps
dfShort$mortalityP <- dfShort$mortality / dfShort$nReps

fitShort <- glm( cbind(mortality, survival) ~ dose, 
                 data = dfShort, 
                 family = "binomial")
summary(fitShort)

fitShortP <- glm( mortalityP ~ dose, data = dfShort, 
                  weights = nReps,     
                  family = "binomial")
summary(fitShortP)

fitLong <- glm( mortality ~ dose, data = dfLong, 
                family = "binomial")
summary(fitLong)

개념적 명확성 외에 서로 선호하는 통계적 이유는 없습니다. 보고 된 이탈도 값은 다르지만 이러한 차이는 완전히 포화 된 모델 때문입니다. 따라서 포화 모형 로그 우도가 취소되므로 모형 간의 상대 편차를 사용한 비교는 영향을받지 않습니다.

명시 적 이탈도 계산을 수행하는 것이 유용하다고 생각합니다.

$i$$n_i$$i$$p_i$$i$$y_{ij}$$j$$i$

긴 형태

$$\sum_i\sum_j\left(\log(p_i)y_{ij} + \log(1 - p_i)(1 - y_{ij})\right)$$

$$\sum_i\sum_j \left(\log(y_{ij})y_{ij} + \log(1 - y_{ij})(1-y_{ij})\right).$$ $y_{ij}$$\log(0)$$0\log(0)$$\lim_{x \to 0^+}x\log(x)$

짧은 형식 (가중치)

이항 분포는 실제로 정수가 아닌 값을 취할 수 없지만 그럼에도 불구하고 각 셀에서 관찰 된 성공 비율을 응답으로 사용하고 로그 우도 계산에서 각 합산에 가중치를 부여하여 "로그 우도"를 계산할 수 있습니다. 해당 셀의 관측치 수

$$\sum_in_i \left(\log(p_i)\sum_jy_{ij}/n_i + \log(1 - p_i)(1 - \sum_j(y_{ij}/n_i)\right)$$

이것은 위에서 계산 한 모델 이탈과 정확히 동일하며, 가능한 한 긴 형식 방정식에서 에 대한 합을 당기면 알 수 있습니다.$j$

한편 포화 편차는 다릅니다. 우리는 더 이상 0-1 응답을 갖지 않으므로 관측 당 하나의 매개 변수를 사용하더라도 정확히 0을 얻을 수 없습니다. 대신 포화 모델 로그 우도는

$$\sum_i n_i\left(\log(\sum_jy_{ij}/n_i)\sum_jy_{ij}/n_i + \log(1 - \sum_jy_{ij}/n_i)(1-\sum_jy_{ij}/n_i)\right).$$

귀하의 예에서,이 양의 두 배가 두 모델 모두에 대해보고 된 널 (null) 및 잔차 편차 값의 차이인지 확인할 수 있습니다.

ni = dfShort$nReps
yavg = dfShort$mortalityP
sum.terms <-ni*(log(yavg)*yavg + log(1 - yavg)*(1 - yavg))
# Need to handle NaN when yavg is exactly 0
sum.terms[1] <- log(1 - yavg[1])*(1 - yavg[1])

2*sum(sum.terms)
fitShortP$deviance - fitLong$deviance