어떤 분포 형태가“피타고라스의 기대”를 산출합니까?

하자 와 Y ~ DIST ( θ $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ 동일 불특정 분포 형태에서하지만 상이한 파라미터 값에 대한 허용 생성 독립적 연속 확률 변수 일. 허용 가능한 모든 모수 값에 대해 다음 샘플링 확률이 유지되는 모수 분포 양식을 찾는 데 관심이 있습니다.$Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

내 질문 : 누구든지 이것이 유지되는 지속적인 배포 형태를 말해 줄 수 있습니까? 이를 유발하는 (사소하지 않은) 일반적인 조건이 있습니까?

내 예비 생각 : 두 매개 변수에 0이 아닌 상수를 곱하면 확률은 변경되지 않으므로 는 일종의 스케일 매개 변수가됩니다.$\theta$

두 개의 지수 랜덤 변수 우리는 P ( X > Y | Y = y ) = exp { − θ X y } 및 E Y [ exp { − θ X Y } ] = ∫ ∞ 0 exp { − θ X

$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ $$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$ 이제X∼E(θ − 2 X $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$ , P ( X > Y ) = θ 2 $$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$ $$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

$f$$X$$Y$

$$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$ $\alpha>0$ $$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$ $\phi$$X,Y$ $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

If $X$ is Weibull $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ and $Y$ is an independent Weibull $\left( \alpha, \beta_2 \right)$, where alpha is the shape parameter and the betas are scale parameters, then it is known that

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$$

This can be derived following the same approach given in Xi'an's answer.

Now let $\alpha=2$ for both $X$ and $Y$. If $X$ has scale parameter $\theta_X$ and $Y$ has scale parameter $\theta_Y,$ we have

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$$