2D 마진으로 3D 조인트 분포를 재구성 할 수 있습니까?

p (x, y), p (x, z) 및 p (y, z)를 알고 있다고 가정하면, 공동 분포 p (x, y, z)를 식별 할 수 있다는 것이 사실입니까? 즉, 한계를 초과하는 가능한 p (x, y, z)가 하나뿐입니까?

distributions mathematical-statistics

— 사용자
소스

관련 : 가 공동 분포가 정규되지 않은 가우시안 확률 변수의 쌍을 할 수 있습니까? (이것은 2D 조인트 대 1D 마진과 관련이 있지만 대답과 직관은 궁극적으로 동일하며 @ 추기경의 답변 그림은 아름답습니다.)

— gung-Reinstate Monica

@gung 관계가 다소 원격입니다. 이 질문의 미묘한 점은 copula가 주어진 한계 값을 갖는 이변 량 분포를 개발하는 방법을 보여줍니다. 그러나 3 변량 분포에 대해 3 개의 2 변량 한계 값을 지정하면 해당 3 변량 분포에 대해 상당히 엄격한 추가 제한 조건이 있어야합니다. 1 변량 한계 값은 일관되어야합니다. 문제는 이러한 제약이 3 변량 분포를 고정시키기에 충분한 지 여부입니다. 이것은 본질적으로 2 차원 이상의 질문입니다.

— whuber

@ whuber, 나는 당신이 2D 한계가 1D 한계보다 더 제한적이라고 말하는 것을 이해합니다. 내 요점은 두 가지 대답에서 한계가 공동 분포를 충분히 제한 할 수 없으며, 추기경의 대답으로 문제를 쉽게 볼 수 있다는 것입니다. 이것이 너무 산만하다고 생각되면 이러한 의견을 삭제할 수 있습니다.

— gung-모니 티 복원

@ gung 나는 전혀 다른 것을 말하려고 노력하고 있으며보기가 쉽지 않습니다 (3D 시각화에 능숙하지 않은 한). Hofstadter의 Godel, Escher, Bach 의 표지 이미지를 기억하십니까 ? (구글링에서 쉽게 찾을 수 있습니다. 아마도 답을 확장하여 포함시킬 것입니다.) 좌표축에 동일한 투영 세트가있는 두 개의 다른 솔리드가 존재한다는 것은 상당히 놀랍습니다. 이것은 3D 객체의 직교 2D "뷰"의 전체 세트가 반드시 객체를 결정하지는 않는다는 아이디어를 포착합니다. 그것이 문제의 핵심입니다.

— whuber

@ 궁 한 번 더 시도해 볼 수 있습니다. 그렇습니다. 한계가 분포를 완전히 결정하지 못한다는 생각은 두 경우에 공통입니다. 이 문제의 합병증-내가 생각하는 것과 다른 점은 현재 상황의 한계가 결코 독립적이지 않다는 것입니다. 각 2D 한계는 두 개의 1D 한계 를 결정하고 그 둘 사이의 강한 관계를 결정합니다 한계. 개념적으로, 다음,이 질문은 "왜 아니기 때문에 개주 될 수 종속 차원 marginals '이적'에가하거나 풀 3D 분포를 결정하는 의미에서 '누적'?"

— whuber

답변:

제 아마도 단순한 반례 우려 3 개의 독립적 인 분포 변수 모든 8 개 개의 가능한 결과되는, 내지 똑같이 보인다. 이것은 에서 4 개의 한계 분포를 모두 균일하게 만듭니다. $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ . $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

세트 에 균일하게 분포 된 랜덤 변수 를 고려하십시오 . 이것들은 $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ . $(X_1,X_2,X_3)$

Douglas Hofstadter의 Godel, Escher, Bach 의 표지 는 가능성을 암시합니다.

좌표 평면에 대한 각 솔리드의 3 개의 직교 투영 (그림자)은 동일하지만 솔리드는 분명히 다릅니다. 그림자는 한계 분포와 크게 다르지 않지만 그림자를 드리 우는 3D 객체 를 제한 하지만 완전히 결정하지는 않는 비슷한 방식으로 작동 합니다.

— 우버
소스

물론 +1이지만, 내가 정확하게 기억한다면,

은 번스타인으로 돌아가고 아마도 더 일찍 돌아갑니다. 나는 과거에 광범위하게 사용하여 입력이 1이고 출력이 1 인 이벤트가 페어 단위 독립 이벤트 (입력이 0 또는 1 일 가능성이 있음)이지만 상호 독립적이지 않은 독점 OR 논리 게이트에 대해 논의했습니다. 이벤트

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

— Dilip Sarwate

whuber의 답변과 같은 정신으로

관절 밀도 함수 관절 연속 랜덤 변수 를 고려하십시오 $U, V, W$ 여기서,이고 표준 정규 밀도 함수.

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

$U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ 는 쌍으로 독립적이지만 상호 독립적 인 표준 정규 확률 변수의 예입니다. 자세한 내용은 이 대답 을 참조하십시오.

$X,Y,Z$

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y, Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$

(1)

$(1)$

— 디립 사르 베이트
소스

기본적으로 3 개의 기본 축을 따라 이미지 만 사용하여 CAT 재구성 이 가능한지 묻습니다 .

그렇지 않다면 ... 그렇지 않으면 그들이하는 일입니다. :-) 자세한 내용은 라돈 변환 을 참조하십시오 .

— 사용자
소스

나는 유추를 좋아한다. 그러나 두 가지 측면에서 문제가 있습니다. 하나는 논리입니다. 라돈 변환 (또는 다른 기술)이 세 가지 한계보다 더 많은 데이터를 사용하기 때문에 실제로 모든 데이터가 필요하다는 것을 의미하지는 않습니다. 또 다른 문제는 CT 스캔이 본질적으로 2 차원이라는 것입니다. 즉, 슬라이스별로 솔리드 바디를 재구성합니다. (라돈 변환이 3 차원 이상으로 정의되어있는 것은 사실입니다.) 따라서 실제로 문제의 핵심에 도달하지는 않습니다. 일 변량 한계가 2D 분포를 재구성하기에 충분하지 않다는 것을 이미 알고 있습니다.

— whuber

@ whuber : 나는 당신이 내가 말한 것을 오해했다고 생각합니다 ... 2D 대 3D는 붉은 청어입니다. 라돈 변환의 역은 반전에 대한 완전한 적분이 필요하다고 말하려고했습니다 (즉, 문자 그대로 반전 공식을 보면 반전은 d 각에 대한 합이 아니라 모든 각도에 대해 적분이 필요하다는 것을 알 수 있습니다 ). CAT 스캔은 OP가 CT와 동일한 문제를 볼 수 있도록 도와주는 것입니다.

— user541686

그것이 논리가 무너지는 곳입니다. 그것은 CT와 같은 문제가 아닙니다. 당신의 주장은 "도로에서 보는 모든 차량은 적어도 4 개의 바퀴를 사용합니다. 따라서 바퀴가 4 개 미만인 지상 운송은 불가능합니다. 가능하다면 사람들은 타이어를 절약하기 위해 더 적은 바퀴를 사용할 것입니다. 의심 스럽다면 자동차의 청사진을보십시오. " 또한 CT 스캐너에 구현 된 변환은 모든 각도에 통합 되지 않습니다. 사용하는 각도 세트의 측정 값은 0입니다!

— whuber

@ whuber : 잠시 CT를 잊어 버려요. 나머지 논리에 동의하십니까?

— user541686