때

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$X$ 및 $Y$ 는 독립적으로 분포 된 랜덤 변수입니다. 여기서 $X\sim\chi^2_{(n-1)}$ 및 $Y\sim\text{Beta}\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)$ . 의 분포는 $Z=(2Y-1)\sqrt X$ ?

공동 밀도 $(X,Y)$ 에 의해 주어진다

f_{X, Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y) = \frac{e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n - 1}{2} - 1}}{2^{\frac{n - 1}{2}} Γ (\frac{n - 1}{2})} \cdot \frac{y^{\frac{n}{2} - 2} (1 - y)^{\frac{n}{2} - 2}}{B (\frac{n}{2} - 1, \frac{n}{2} - 1)} 1_{{x > 0, 0 < y < 1}}

$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n-1}{2}-1}}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}\cdot\frac{y^{\frac{n}{2}-2}(1-y)^{\frac{n}{2}-2}}{B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{\{x>0\,,\,0<y<1\}}$

와 같이 변수 $(X,Y)\mapsto(Z,W)$ $Z=(2Y-1)\sqrt X$ 와 $W=\sqrt X$ ,

나는 의 조인트 밀도 $(Z,W)$ 를

f_{Z, W} (z, w) = \frac{e^{- \frac{w^{2}}{2}} w^{n - 3} {(\frac{1}{4} - \frac{z^{2}}{4 w^{2}})}^{\frac{n}{2} - 2}}{2^{\frac{n - 1}{2}} Γ (\frac{n - 1}{2}) B (\frac{n}{2} - 1, \frac{n}{2} - 1)} 1_{{w > 0, | z | < w}}

$f_{Z,W}(z,w)=\frac{e^{-\frac{w^2}{2}}w^{n-3}\left(\frac{1}{4}-\frac{z^2}{4w^2}\right)^{\frac{n}{2}-2}}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{\{w>0\,,\,|z|<w\}}$

PDF의 한계 다음 인 $Z$ 어디서나 나를 이끌지 않는 . $f_Z(z)=\displaystyle\int_{|z|}^\infty f_{Z,W}(z,w)\,\mathrm{d}w$

다시, 의 분포 함수를 찾는 동안 불완전한 베타 / 감마 함수가 나타납니다. $Z$

$F_Z(z)=\Pr(Z\le z)$

$\quad\qquad=\Pr((2Y-1)\sqrt X\le z)=\displaystyle\iint_{(2y-1)\sqrt{x}\le z}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

여기서 변수의 적절한 변경은 무엇입니까? 의 분포를 구하는 다른 방법이 있습니까? $Z$

Chi-Squared, Beta, 'F'및 't'분포 사이에 다른 관계를 사용해 보았지만 아무것도 작동하지 않는 것 같습니다. 아마도 나는 분명한 것을 놓치고 있습니다.

@Francis가 언급했듯이이 변환은 Box-Müller 변환의 일반화입니다.

— 완고한 원자
소스

4

Box-Muller 변환의 일반화

— Francis

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대수 증명이 있습니다. 대신 를 찾아야 할 (제곱되지 않음)을 보도록하겠습니다 . 이것들은 모두 유효한 밀도가 보장되므로 정규화 상수를 추적하지 않겠습니다. 우리가 하자 및 역 변환이되도록 및 . 이것은 우리에게 입니다. 이로 인해 우리는 $X \sim \chi_{n-1}$ $Z := (2Y - 1)X$

f_{X, Y} (x, y) \propto x^{n - 2} e^{- x^{2} / 2} {[y (1 - y)]}^{n / 2 - 2} 1_{{0 < x, 0 < y < 1}} .

$f_{X,Y}(x,y) \propto x^{n-2}e^{-x^2/2}\left[y(1-y)\right]^{n/2-2} \mathbf 1_{\{0 < x, \, 0 < y < 1\}}.$

Z = (2 y - 1) X

$Z = (2y-1)X$

W = X

$W=X$

x (z, w) = w

$x(z,w) = w$

y (z, w) = \frac{z + w}{2 w} = \frac{z}{2 w} + \frac{1}{2}

$y(z,w) = \frac{z+w}{2w} = \frac{z}{2w} + \frac 12$

| J | = \frac{1}{2 w}

$|J| = \frac 1{2w}$

f_{Z, W} (z, w) \propto w^{n - 1} e^{- w^{2} / 2} {[\frac{z + w}{2 w} (1 - \frac{z + w}{2 w})]}^{n / 2 - 2} 1_{{0 < w, - 1 < \frac{z}{w} < 1}}

$f_{Z,W}(z,w) \propto w^{n-1}e^{-w^2/2} \left[\frac{z+w}{2w} \left( 1 - \frac{z+w}{2w}\right)\right]^{n/2-2} \mathbf 1_{\{0 < w, \, -1 < \frac zw < 1\}}$

\propto w e^{- w^{2} / 2} {(w^{2} - z^{2})}^{n / 2 - 2} 1_{{| z | < w}} .

$\propto w e^{-w^2/2} \left(w^2-z^2\right)^{n/2-2} \mathbf 1_{\{|z| < w\}}.$ 따라서

f_{Z} (z) \propto \int_{w > | z |} w e^{- w^{2} / 2} {(w^{2} - z^{2})}^{n / 2 - 2} d w .

$f_Z(z) \propto \int_{w > |z|} w e^{-w^2/2} \left(w^2-z^2\right)^{n/2-2} \,\text dw.$

편의상 하자 . 양변에 를 곱하면 이제 이므로 입니다. 이것은 우리에게 마지막 적분에 의존하지 않기 때문에 , 우리는 도시했는지 따라서 $m = n/2-2$ $e^{z^2/2}$

e^{z^{2} / 2} f_{Z} (z) \propto \int_{| z |}^{\infty} w e^{- (w^{2} - z^{2}) / 2} (w^{2} - z^{2})^{m} d w .

$e^{z^2/2} f_Z(z) \propto \int_{|z|}^\infty w e^{-(w^2-z^2)/2}(w^2-z^2)^m \,\text dw.$

2 u = w^{2} - z^{2}

$2u = w^2 - z^2$

d u = w d w

$\text du = w\,\text dw$

e^{z^{2} / 2} f_{Z} (z) \propto 2^{m} \int_{0}^{\infty} u^{m} e^{- u} d u = 2^{m} Γ (m + 1) .

$e^{z^2/2} f_Z(z) \propto 2^m \int_0^\infty u^m e^{-u} \,\text du = 2^m \Gamma(m+1).$

z

$z$

e^{z^{2} / 2} f_{Z} (z) \propto 1

$e^{z^2/2} f_Z(z) \propto 1$

Z \sim N (0, 1) .

$Z \sim \mathcal N(0, 1).$

— jld
소스

1

+1. 이 답변 은 정수가 아닌 모든 값을 다루기 때문에이 답변을 복원하게되어 기쁩니다 .

n

$n$

— whuber

@ whuber 덕분에, 어떻게 든 대신 를 넣었고 이 홀수

z^{2} - w^{2}

$z^2-w^2$

w^{2} - z^{2}

$w^2-z^2$

n

$n$

— jld

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$2Y-1$ 은 구 에서 균일 분포의 하나의 좌표 $n-1$ 와 같이 분포되고 ; 는 표준 표준 변량 의 제곱의 합의 분포를 가지며; 이 두 수량은 독립적입니다. 기하학적으로 는 하나의 좌표 분포를 갖습니다. 즉, 표준 정규 분포를 가져야합니다. $X$ $n-1$ $(2Y-1)\sqrt{X}$

(이 인수는 정수 적용됩니다 .) $n=2,3,4,\ldots$

추론과 계산에서 오류를 발견 할 수 있기 때문에 항상 현명한 수치 적 설득력이 필요한 경우 다음을 시뮬레이션하십시오.

시뮬레이션 된 결과와 청구 된 표준 정규 분포 사이의 일치는이 값 범위에서 우수 합니다. $n$

R원하는 경우 이러한 플롯을 생성 한 코드를 추가로 실험하십시오 .

n.sim <- 1e5
n <- 2:5
X <- data.frame(Z = c(sapply(n, function(n){
  y <- rbeta(n.sim, n/2-1, n/2-1)  # Generate values of Y
  x <- rchisq(n.sim, n-1)          # Generate values of X
  (2*y - 1) * sqrt(x)              # Return the values of Z
})), n=factor(rep(n, each=n.sim)))

library(ggplot2)
#--Create points along the graph of a standard Normal density
i <- seq(min(z), max(z), length.out=501)
U <- data.frame(X=i, Z=dnorm(i))

#--Plot histograms on top of the density graphs
ggplot(X, aes(Z, ..density..)) + 
  geom_path(aes(X,Z), data=U, size=1) +
  geom_histogram(aes(fill=n), bins=50, alpha=0.5) + 
  facet_wrap(~ n) + 
  ggtitle("Histograms of Simulated Values of Z",
          paste0("Sample size ", n.sim))

— 우버
소스

1

@Stubborn 감사합니다. 매개 변수가 일관성이 있는지 여부는 중요하지 않습니다. 그렇지 않으면 결론이 올바르지 않습니다. 내가 고칠 게

— whuber

3

@Chaconne 사용자가 이미 수행 한 것처럼이 특정 변환에 대한 대수적 증거를 제공 할 수있었습니다. 나는 세부 사항을 건너 뛰지 않았습니다.

( 의 밀도 가 유효 하려면 가 이미 있습니다 ). $n>2$ $Y$

우리가 변화를 살펴 보자 등이 및 . $(X,Y)\mapsto (U,V)$ $U=(2Y-1)\sqrt{X}$ $V=X$

이는 및 합니다. $x=v$ $y=\frac{1}{2}\left(\frac{u}{\sqrt{v}}+1\right)$

이제 하고 , $x>0\implies v>0$ $0<y<1\implies-\sqrt{v}<u<\sqrt{v}$

의 이변 량 지원 은 단순히 입니다. $(U,V)$ $S=\{(u,v):0<u^2<v<\infty,\,u\in\mathbb{R}\}$

자 코비안 변환의 절대 값은 입니다. $|J|=\frac{1}{2\sqrt{v}}$

따라서 의 결합 밀도는 $(U,V)$

f_{U, V} (u, v) = \frac{e^{- \frac{v}{2}} v^{\frac{n - 1}{2} - 1} {(\frac{u}{\sqrt{v}} + 1)}^{\frac{n}{2} - 2} {(\frac{1}{2} - \frac{u}{2 \sqrt{v}})}^{\frac{n}{2} - 2} Γ (n - 2)}{(2 \sqrt{v}) 2^{\frac{n - 1}{2} + \frac{n}{2} - 2} Γ (\frac{n - 1}{2}) {(Γ (\frac{n}{2} - 1))}^{2}} 1_{S}

$f_{U,V}(u,v)=\frac{e^{-\frac{v}{2}}v^{\frac{n-1}{2}-1}\left(\frac{u}{\sqrt{v}}+1\right)^{\frac{n}{2}-2}\left(\frac{1}{2}-\frac{u}{2\sqrt{v}}\right)^{\frac{n}{2}-2}\Gamma(n-2)}{(2\sqrt{v})\,2^{\frac{n-1}{2}+\frac{n}{2}-2}\,\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\left(\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)\right)^2}\mathbf1_{S}$

= \frac{e^{- \frac{v}{2}} v^{\frac{n - 4}{2}} (\sqrt{v} + u)^{\frac{n}{2} - 2} (\sqrt{v} - u)^{\frac{n}{2} - 2} Γ (n - 2)}{2^{\frac{2 n - 3}{2} + \frac{n}{2} - 2} (\sqrt{v})^{n - 4} Γ (\frac{n - 1}{2}) {(Γ (\frac{n - 2}{2}))}^{2}} 1_{S}

$=\frac{e^{-\frac{v}{2}}v^{\frac{n-4}{2}}(\sqrt{v}+u)^{\frac{n}{2}-2}(\sqrt{v}-u)^{\frac{n}{2}-2}\,\Gamma(n-2)}{2^{\frac{2n-3}{2}+\frac{n}{2}-2}\,(\sqrt{v})^{n-4}\,\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\left(\Gamma\left(\frac{n-2}{2}\right)\right)^2}\mathbf1_{S}$

이제 Legendre의 복제 공식을 사용하여

$\Gamma(n-2)=\frac{2^{n-3}}{\sqrt \pi}\Gamma\left(\frac{n-2}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n-2}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{2^{n-3}}{\sqrt \pi}\Gamma\left(\frac{n-2}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)$ 여기서 입니다. $n>2$

따라서 경우 $n>2$

f_{U, V} (u, v) = \frac{2^{n - 3} e^{- \frac{v}{2}} (v - u^{2})^{\frac{n}{2} - 2}}{\sqrt{π} 2^{\frac{3 n - 7}{2}} Γ (\frac{n}{2} - 1)} 1_{S}

$f_{U,V}(u,v)=\frac{2^{n-3}\,e^{-\frac{v}{2}}(v-u^2)^{\frac{n}{2}-2}}{\sqrt \pi\,2^{\frac{3n-7}{2}}\,\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{S}$

그런 다음 한계 PDF 는 다음과 같이 주어집니다. $U$

f_{U} (u) = \frac{1}{2^{\frac{n - 1}{2}} \sqrt{π} Γ (\frac{n}{2} - 1)} \int_{u^{2}}^{\infty} e^{- \frac{v}{2}} (v - u^{2})^{\frac{n}{2} - 2} d v

$f_U(u)=\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}\sqrt \pi\,\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)}\int_{u^2}^\infty e^{-\frac{v}{2}}(v-u^2)^{\frac{n}{2}-2}\,\mathrm{d}v$

= \frac{e^{- \frac{u^{2}}{2}}}{2^{\frac{n - 1}{2}} \sqrt{π} Γ (\frac{n}{2} - 1)} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{t}{2}} t^{(\frac{n}{2} - 1 - 1)} d t

$=\frac{e^{-\frac{u^2}{2}}}{2^{\frac{n-1}{2}}\sqrt \pi\,\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)}\int_0^\infty e^{-\frac{t}{2}}\,t^{(\frac{n}{2}-1-1)}\,\mathrm{d}t$

= \frac{1}{2^{\frac{n - 1}{2}} \sqrt{π} {(\frac{1}{2})}^{\frac{n}{2} - 1}} e^{- \frac{u^{2}}{2}}

$=\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}\sqrt \pi\,\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}}e^{-\frac{u^2}{2}}$

= \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- u^{2} / 2}, u \in R

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,,u\in\mathbb{R}$

— 완고한 원자
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2

이것은 Mathematica를 사용하는 더 많은 블랙 박스 답변입니다 (즉, 대수적 세부 사항이 누락되었습니다) . 간단히 말해 @whuber는 의 분포 가 표준 정규 분포라는 것입니다. $Z$

(* Transformation *)
f = {(2 y - 1) Sqrt[x], Sqrt[x]};
sol = Solve[{z == (2 y - 1) Sqrt[x], w == Sqrt[x]}, {x, y}][[1]]
(*{x -> w^2,y -> (w+z)/(2 w)} *)
(* Jacobian *)
J = D[f, {{x, y}}]

(* Joint pdf of Z and W *)
{jointpdf, conditions} = FullSimplify[PDF[BetaDistribution[n/2 - 1, n/2 - 1], y] 
  PDF[ChiSquareDistribution[n - 1], x] Abs[Det[J]] /. sol,
  Assumptions -> {w >= 0, 0 <= y <= 1}][[1, 1]]

(* Integrate over W *)
Integrate[jointpdf Boole[conditions], {w, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> {n > 2, z == 0}]
(* 1/Sqrt[2 \[Pi]] *)

Integrate[jointpdf Boole[conditions], {w, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> {n > 2, z > 0}]
(* Exp[-(z^2/2)]/Sqrt[2 \[Pi]] *)

Integrate[jointpdf Boole[conditions], {w, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> {n > 2, z < 0}]
(* Exp[-(z^2/2)]/Sqrt[2 \[Pi]] *)

— JimB
소스

1

답 자체 는 아니지만 Box-Muller 변환과의 관련성을 지적하는 것이 좋습니다.

Box-Muller 변환 . 여기서 입니다. 우리는 할 수 있습니다 보여 그 , 즉 . 다른 한편으로, 우리는 가 위치 스케일 아크 사인 분포를 가지고 있음을 보여줄 수 있는데, 이는 의 분포와 일치합니다 . 이것은 때 Box-Muller 변환이 의 특별한 경우임을 의미 합니다. $Z=\sqrt{-2\ln U}\sin(2\pi V)$ $U,V\sim U(0,1)$ $-\ln U\sim\operatorname{Exp}(1)$ $-2\ln U\sim\chi^2_2$ $\sin(2\pi V)$ $2\operatorname{B}(1/2,1/2)-1$ $(2Y-1)\sqrt{X}$ $n=3$