임의의 변수를 자체 pdf 또는 cdf에 연결하는 데있어 직관적 인 의미는 무엇입니까?

pdf는 일반적으로 로 작성되며 , 여기서 소문자 는 해당 pdf를 갖는 랜덤 변수 의 실현 또는 결과로 처리됩니다 . 유사하게, cdf는 로 작성되며 , 의미는 입니다. 그러나, 점수 함수 의 정의 및 cdf가 균일하게 분포된다는 이러한 유도 와 같은 일부 상황에서, 랜덤 변수 는 그 자신의 pdf / cdf에 꽂혀 있는 것으로 보인다 ; 그렇게함으로써, 우리는 새로운 랜덤 변수 또는 얻습니다 $f(x|\theta)$ $x$ $X$ $F_X(x)$ $P(X<x)$ $X$ $Y=f(X|\theta)$ $Z=F_X(X)$ . 나는 지금 확률 변수 자체이기 때문에 우리는 더 이상 PDF 또는 CDF이 전화를 할 수 있다고 생각하지 않으며, 후자의 경우, "해석은" 나에게 말도 안되는 것 같습니다. $F_X(X)=P(X<X)$

또한 위의 후자의 경우 "임의 변수의 cdf가 균일 분포를 따른다"라는 문장을 이해하지 못했습니다. cdf는 임의의 변수가 아닌 함수이므로 분포 가 없습니다 . 오히려 균일 분포를 갖는 것은 자체 cdf를 나타내는 함수를 사용하여 변형 된 임의 변수이지만이 변환이 의미가있는 이유는 알 수 없습니다. 점수 함수도 마찬가지입니다. 여기서 랜덤 변수를 자체 로그 우도를 나타내는 함수에 연결합니다.

나는 이러한 변화의 뒤에 직관적 인 의미를 내놓으려고 몇 주 동안 내 두뇌를 깨뜨 렸지만 나는 갇혀있다. 모든 통찰력은 크게 감사하겠습니다!

— 마이
소스

표기법이 혼란 스러울 수 있습니다. 예를 들면, 정확히 적용하는 것과 같은 의미가 어떤 을 측정 기능 이 될 것입니다. 정확한 해석을 위해서는 랜덤 변수가 무엇인지에 대해 매우 명확해야합니다 . 모든 랜덤 변수의 내용 함수 에 대한 명확 확률 변수이고, 따라서이있는 분배( " "에서 " " 기호의 두 가지 다른 의미에 유의하십시오 .) 는 에 연속 분포가있는 경우에만 균일합니다 .

F_{X} (X)

$F_X(X)$

X

$X$

X : Ω \to R,

$X:\Omega\to\mathbb{R},$

Y : ω \to F_{X} (X (ω))

$Y:\omega\to F_X(X(\omega))$

ω \in Ω

$\omega\in\Omega$

F_{Y} .

$F_Y.$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

F_{Y}

$F_Y$

X

$X$

— whuber

이것은 실제로 측정 이론적 문제가 아닙니다. 이해하기 위해서는 "측정 성"에 대한 모든 참조를 무시해도됩니다. 대학원 경력 초기에 약간의 이론을 연구하면 도움이 될 수 있습니다. 대부분의 사람들이이 기본 (및 편재적인) 수학적 용어와 표기법이 실제로 무엇을 의미하는지 배우므로 배우지 않는 것이 가장 좋습니다.

— whuber

어쩌면 RV를 자체 밀도에 삽입하는 것과 같은 미친 짓을 해야하는 이유에 대한 단어!?! 예를 들어, X의 밀도를 추정하고 에 대해 적분하여 얼마나 좋은지 측정 할 수 있지만 이것이 "불공평"하다는 것을 의미합니다. 많은 데이터 예 (즉, 실제 밀도는 작습니다). 따라서“공정한”평가는 항을 실제 밀도로 가중시키는 것입니다. 이 ... 더 많거나 적은 자신의 밀도에 RV를 삽입의 효과

f (x) - f_{X} (x)

$f(x)-f_X(x)$

— 파비안 베르너

또한 참조 stats.stackexchange.com/questions/324768/...

— 파비안 베르너에게

답변:

당신이 말했듯이, 랜덤 변수의 (측정 가능한) 함수는 그 자체가 랜덤 변수입니다. 와 를 "모든 오래된 함수"로 생각하기가 더 쉽습니다 . 그들은 단지 좋은 속성을 갖습니다. 예를 들어, 만약 표준 지수 RV이며, 다음 확률 변수에 대해 특별히 이상한 것은 없다 그것은 너무 일이 그 . 사실 균일 분포 (즉 주신 연속 인 RV)은 CDF의 유도에 의한 일반적인 경우에 대해 알 수 . $f(x)$ $F(x)$ $X$

Y = 1 - e^{- X}

$Y = 1 - e^{-X}$

Y = F_{X} (X)

$Y=F_X(X)$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\begin{aligned} F_{Y} (y) & = P (Y \leq y) \\ = P (F_{X} (X) \leq y) \\ = P (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}

$\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(F_X(X) \leq y) \\ &= P(X \leq F^{-1}_X(y)) \\ &= F_X(F^{-1}_X(y)) \\ &= y \end{align*}$

이것은 분명히 랜덤 변수 의 CDF입니다 . 참고 :이 버전의 증명은 가 엄격하게 증가하고 지속적 이라고 가정 하지만 더 일반적인 버전을 표시하는 것은 그리 어렵지 않습니다. $U(0,1)$ $F_X(x)$

— 놈럼
소스

를 가장 엄격하게 늘리는 결론은 잘못되었습니다 . 이 동일 하다고 가정 했지만 항상 그런 것은 아닙니다.

F_{X}

$F_X$

F_{X} \circ F_{X}^{- 1}

$F_X\circ F_X^{-1}$

— whuber

네 감사합니다. 랜덤 변수 분명히 연속적이어야합니다. 지금 아무것도 빠졌습니까?

X

$X$

— knrumsey 2014

F_{X}

$F_X$ 는 필요는 없습니다. 예를 들어 자체의 분포가 균일 한 경우를 생각해보십시오 ! 이미지의 클로저는 전체 간격 이어야합니다 그것은 본질적으로 연속 분포의 정의입니다.

X

$X$

F_{X}

$F_X$

[0, 1] .

$[0,1].$

— whuber

A는 변환 랜덤 변수의 측정 가능한 기능에 의해 다른 확률 변수 역 확률 주어진다 분포 변환 의 모든 세트 되도록 분포 하에서 측정 할 . $X$ $T:\mathcal{X}\longrightarrow\mathcal{Y}$ $Y=T(X)$

P (Y \in A) = P (X \in {x; T (x) \in A}) \overset{def}{=} P (X \in T^{- 1} (A))

$\mathbb{P}(Y\in A) = \mathbb{P}(X\in\{x;\,T(x)\in A\})\stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{P}(X\in T^{-1}(A))$

A

$A$

{x; T (x) \in A}

$\{x;\,T(x)\in A\}$

X

$X$

이 속성은 이 랜덤 변수 의 cdf 인 경우 특별한 경우에 적용됩니다 . 는 에서 실현 된 새로운 랜덤 변수입니다. . 공교롭게도, 균일 한 분포로 연속적이다. ( 가 불연속적인 경우 의 범위 는 더 이상 이 아닙니다. 항상 가 Uniform 일 때의 경우입니다. 의 분포는 와 같습니다. 여기서 $F_X:\mathcal{X}\longrightarrow[0,1]$ $X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $Y$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X$ $F_X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $U$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X^{-}(U)$ $X$ $F_X^{-}$ 는 의 일반화 된 역을 나타냅니다 . 에 정식 방법 이는 (a) 기본 측정 가능한 변형 랜덤 변수 이해 보낸 CDF 함께 랜덤 변수 와 (b을 ) cdf 를 사용하여 주어진 분포에서 랜덤 변수 를 생성합니다 .) $F_X$ $\omega\in\Omega$ $X(\omega)=F_X^{-}(\omega)$ $F_X$ $F_X$

의 역설 이해하기 , 표현 취할 경우 지배적 계수이고 대응 밀도. 이어서 상측의 구속 때문에 랜덤 변수 정수는 무작위입니다. (이것은 표현의 유일한 무작위 부분입니다.) 의 명백한 모순 은 표기법의 혼동 때문입니다. 올바르게 정의하려면 랜덤 변수 , 및 의 두 가지 독립 버전이 필요합니다. $\mathbb{P}(X\le X)$

F_{X} (x) = P (X \leq x) = \int_{0}^{x} d F_{X} (x) = \int_{0}^{x} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_0^x \text{d}F_X(x) = \int_0^x f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

d λ

$\text{d}\lambda$

f_{X}

$f_X$

F_{X} (X) = \int_{0}^{X} d F_{X} (x) = \int_{0}^{X} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(X)=\int_0^X \text{d}F_X(x) = \int_0^X f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

P (X \leq X)

$\mathbb{P}(X\le X)$

X

$X$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$ 어느 경우에, 확률 변수 에 의해 정의된다 확률이 분포에 대해 계산되는 .

F_{X} (X_{1})

$F_X(X_1)$

F_{X} (X_{1}) = P^{X_{2}} (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=\mathbb{P}^{X_2}(X_2\le X_1)$

X_{2}

$X_2$

변할 때 고정 분포가 없다는 점을 제외하고는 새로운 임의 변수 인 밀도 (pdf) 의한 변환에도 동일한 설명이 적용됩니다 . 그럼에도 불구하고 예를 들어 2 x 로그가 대략 임의 변수 인 우도 비 를 고려할 때 통계 목적으로 유용합니다. 일부 조건. $f_X(X)$ $f_X$ $f_X(X|\hat{\theta}(X))/f_X(X|\theta_0)$ $\chi^2$

동일한는 동안 보유 점수 함수 파라미터의 실제 값에서 취해진 그것의 기대가 제로인지 랜덤 변수 등이다 , 즉

\frac{\partial \log f_{X} (X | θ)}{\partial θ}

$\dfrac{\partial \log f_X(X|\theta)}{\partial \theta}$

θ

$\theta$

E_{θ_{0}} [\frac{\partial \log f_{X} (X | θ_{0})}{\partial θ}] = \int \frac{\partial \log f_{X} (x | θ_{0})}{\partial θ} f_{X} (x | θ_{0}) d λ (x) = 0

$\mathbb{E}_{\theta_0}\left[ \dfrac{\partial \log f_X(X|\theta_0)}{\partial \theta}\right]=\int \dfrac{\partial \log f_X(x|\theta_0)}{\partial \theta}f_X(x|\theta_0)\,\text{d}\lambda(x)=0$

[@whuber와 @knrumsey가 각각의 답변을 입력하는 동안 입력 한 답변!]

— 시안
소스

명령문 의 의미 / 해석이 무엇인지 단어로 설명 할 수 있습니까? "rv의 cdf는 균일 한 분포를 가지고있다"고 말하는 것이 의미가없는 것 같습니다.

F_{X} (X_{1}) = P (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=P(X_2 \leq X_1)$

— mai

rv 의 cdf는이 rv의 cdf, 즉 의한 rv 의 변환과 동일하지 않습니다 .

F_{X}

$F_X$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— 시안

예, 나는 그들이 같은 것이 아니라는 데 동의합니다. 첫 번째 경우에는 rv가 아니며 두 번째 경우에는 rv입니까?

— mai

예, 에서 의 다른 의미 와

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Xi'an

당신은 당신이 무슨 뜻인지 설명 할 수 없습니다 "기대가 제로 의 진정한 가치에서 촬영 할 때 매개 변수 ? 것 같다 여기에 변수로 취급되고있다. 어떻게하면 변경 하지 않음을의에서"진정한 가치 "?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— mai