이 발췌문에서 표준 편차의 편향 추정이 일반적으로 적합하지 않다고 말하는 이유는 무엇입니까?

나는 표준 편차의 편견없는 추정과 내가 읽은 소스의 계산에 대해 읽었습니다.

(...) 일부 중요한 상황을 제외하고,이 작업은 유의성 테스트 및 신뢰 구간 사용 또는 베이지안 분석 사용과 같은 표준 절차에 의해 필요하지 않기 때문에 통계 적용과 거의 관련이 없습니다.

예를 들어 신뢰 구간이 계산의 일부로 표준 편차를 사용하지 않는 등 누군가이 진술의 근거를 설명 할 수 있는지 궁금합니다. 따라서 신뢰 구간이 치우친 표준 편차의 영향을받지 않습니까?

편집하다:

지금까지 답변을 주셔서 감사하지만, 나는 그들에 대한 몇 가지 추론을 따르지 않기 때문에 매우 간단한 예를 추가 할 것입니다. 요점은 출처가 정확하면 내 결론에서 예제에 문제가 있으며 p- 값 이 표준 편차에 어떻게 의존 하지 않는지 누군가에게 지적하고 싶습니다 .

한 연구원이 자신의 도시에서 시험 한 5 학년생의 평균 점수가 0.05의 유의 수준으로 전국 평균 76과 다른지 여부를 테스트하려고한다고 가정합니다. 연구원은 무작위로 20 명의 학생의 점수를 채취했습니다. 표본 평균은 표본 표준 편차 8.87 인 80.85입니다. 이것은 t = (80.85-76) / (8.87 / sqrt (20)) = 2.44를 의미합니다. 그런 다음 t- 테이블을 사용하여 19 df의 2.44에서 양측 확률 값이 0.025임을 계산합니다. 이는 유의 수준 0.05 미만이므로 귀무 가설을 기각합니다.

따라서이 예에서 표본 표준 편차를 추정 한 방법에 따라 p- 값 (및 결론)이 변경되지 않습니까?

— BYS2
소스

이것은 당신이주는 이유로 이상하게 보입니다. 어쩌면 우리가 놓친 것이있을 경우를 대비하여 단락을 제공 할 수 있습니까? 치우침이 큰 문제가되지 않는 한 가지는 표본 크기가 커짐에 따라 매우 중요하지 않으며 아마도 다른 모든 문제 (예 : 우리가 일반적으로 가지고있는 모델의 잘못된 사양)와 비교할 때 중요하지 않다는 것입니다. 당신의 근원에서 주어진.

— 피터 엘리스

@PeterEllis, 이것은 실제로 "위반되지 않은 표준 편차 추정"( en.wikipedia.org/wiki/Unbiased_estimation_of_standard_deviation ) 에 대한 Wikipedia 페이지에 있습니다.

— BYS2

답변:

이에 대해서는 Glen_b에 동의합니다. 요점을 더 명확하게하기 위해 몇 단어를 추가 할 수도 있습니다. 데이터가 분산을 알 수없는 정규 분포 (iid 상황)에서 나온 경우 t 통계량은 신뢰 구간을 생성하고 가설 검정을 수행하는 데 사용되는 중추적 수량입니다. 그 추론에 중요한 것은 귀무 가설 (임계 값 결정)과 대안 (파워와 표본 결정) 하에서의 분포입니다. 이것들은 각각 중앙 및 비 중심 t 분포입니다. 이제 한 번의 표본 문제를 고려할 때 t 검정은 정규 분포의 평균에 대한 검정으로 최적의 특성을 갖습니다. 이제 표본 분산은 모집단 분산의 편견 추정치이지만 제곱근은 모집단 표준 편차의 BIASED 추정기입니다. 그렇지 않습니다 이 BIASED 추정기는 피벗 수량의 분모에 들어갑니다. 이제는 일관된 추정기라는 역할을합니다. 그것이 표본 크기가 무한대로 갈 때 t 분포가 표준 법선에 접근 할 수있게하는 것입니다. 그러나 모든 고정에 대해 편견 은 테스트의 좋은 특성에 영향을 미치지 않습니다. $n$

제 생각에는 입문 통계 수업에서 편견이 지나치게 강조됩니다. 추정기의 정확성과 일관성은 강조 할 가치가있는 실제 속성입니다.

모수 적 또는 비모수 적 방법이 적용되는 다른 문제의 경우 표준 편차의 추정치가 공식에 포함되지 않습니다.

— 마이클 R. 체 르닉
소스

추정치에 의존하지만 자유도가 19 인 t가 적용되는 추정치는 단 하나 뿐이며이 추정치는 표본 분산의 일반적인 추정치의 제곱근입니다. 표준 편차의 다른 추정값을 사용하면 귀무 가설 하에서 검정 통계량에 대한 다른 기준 분포가 있습니다. t가 아닙니다.

— Michael R. Chernick

@ BYS2 : 예제에서 생성 한 간격과 관련 하여 샘플 표준 편차에 스케일 팩터를 곱하여 (예를 들어, 편향되지 않도록) 변경 하지 않습니다 . 이 경우 테스트 통계 의 분포 는 약간 (약간) 변경되지만 구성된 CI는 정확히 동일하게됩니다! 이제 데이터 자체에 의존하는 "수정"을 수행하면 일반적으로 다른 결과가 나옵니다. Glen의 답변 아래 내 의견을 참조하십시오.

— 추기경

@ BYS2 :

통계량을 사용하는 일반 모형의 경우 CI와

값 사이에 좋은 대응 관계가 있습니다. 따라서 표본 표준 편차를 알려진 상수로 "조정"하면

값이 변경되지 않습니다. 보자 예

고정 용

. 그런 다음

t

$t$

p

$p$

p

$p$

{\tilde{T}}_{b} = (\bar{X} - μ) / (b \cdot \hat{σ}) = T / b

$\tilde T_b = (\bar X - \mu)/(b\cdot \hat \sigma) = T / b$

b > 0

$b > 0$

및 임계 값

, 즉 이들 사이에 일대일 대응이 있습니다. 말이 돼?

P ({\tilde{T}}_{b} > u) = P (T > b u)

$\mathbb P(\tilde T_b > u) = \mathbb P(T > b u)$

{\tilde{t}}_{b, α} = b t_{α}

$\tilde t_{b,\alpha} = b t_\alpha$

— 추기경

카디널이 올바르게 지적하는 것은 t 통계량에 상수를 곱하여 본질적으로 다른 표준 편차 추정치를 사용할 수 있다는 것입니다. 검정 통계량에 더 이상 t 분포가 없습니다. 상수 때문에 분포가 약간 다릅니다. 평균은 b의 계수만큼 변하며 표준 편차도 변합니다. 테스트 통계의 임계 값을 계산할 때 위에서 설명한대로 적절하게 변경됩니다.

— Michael R. Chernick

@ BYS2 네 맞습니다.

— Michael R. Chernick

t- 통계량과 같은 중추적 수량을 기준으로 계산 된 구간을 고려하십시오. 표준 편차에 대한 추정값의 평균값이 실제로 나오지 않습니다. 구간은 통계 분포에 따라 결정됩니다. 따라서 그 진술은 옳습니다.

— Glen_b-복귀 모니카
소스

예. 그러나 통계 분포는 대부분의 경우 알려지지 않은 표준 편차에 의존하지 않으므로 추정기를 사용해야합니까?

— BYS2

(+1) 글렌. @ BYS2 : 여기 몇 가지 핵심 사항이 있습니다. 첫째, 우리가 중추적 인 수량을 가지고 있다면 신뢰 설정을 구성하는 매우 편리한 수단을 제공하지만 종종 존재하지는 않습니다. 중추적 수량의 요점은 분포가 순전히 알려진 양 에 의존한다는 것 입니다. 둘째, 중추적 수량은 기본 모델과 밀접한 관련이 있습니다. 데이터가 가정 된 모델에서 벗어난 경우 검정 통계량의 분포도 중요 할 수 있으며 중추적 수량으로서의 특성은 그다지 적절하지 않을 수 있습니다. :)

— 추기경

해석은 항상 부분적인 추측이지만 내포 된 의미는 종종 표준 편차를 명시 적으로 추정하지 않고 원하는 결과를 얻을 수 있다는 것입니다. 다시 말해, 저자는 편향된 추정값 대신 표준 편차의 추정값을 사용 하지 않는 상황을 언급하고 있다고 생각합니다 .

예를 들어 통계의 전체 분포에 대한 추정치를 구성 할 수있는 경우 표준 편차를 사용하지 않고 신뢰 구간을 계산할 수 있습니다. 실제로 많은 비정규 분포에 대해 표준 편차 자체 (및 평균)로는 신뢰 구간의 추정치를 계산하기에 충분하지 않습니다. 부호 테스트 와 같은 다른 경우 에는 표준 편차에 대한 추정값도 필요하지 않습니다.

(물론, 전체 분포 의 편견없는 추정치 를 구성하는 것은 사소한 것이 아니며 , 베이지안 통계에서는 이전을 통해 명시 적으로 편향을 도입하는 것이 실제로 일반적입니다.)

— MLS
소스

마지막 단락의 의미를 조금 더 확장하는 것이 흥미로울 수 있습니다. 예를 들어, 통계의 분포에서 표본을 추출 할 수있는 경우 경험적 cdf는 분산 함수의 점별 편견 추정치를 생성하는 매우 쉽고 간단한 방법을 제공합니다. :)

— 추기경

max_{i} X_{i}

$\max_i X_i$

max_{i} X_{i}

$\max_i X_i$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

i

$i$

max_{i} X_{i}

$\max_i X_i$

이것은 사실이며 내가 뽑으려고했던 시점에 가깝습니다. 마지막 단락의 첫 번째 문장은 예를 들어 단일 랜덤 샘플로부터 비선형 통계 함수의 편향 추정치를 구성하는 것을 지칭한다. 이것은 함수 자체의 랜덤 표본으로부터 완전 분포의 편견 추정치를 구성하는 것과는 상당히 다릅니다. :-)

— 추기경