확률 이론은 하나의 통합 / 합산하는 음이 아닌 함수에 대한 연구입니까?

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이것은 아마도 어리석은 질문이지만 확률 이론은 하나에 통합 / 요약되는 함수에 대한 연구입니까?

편집하다. 나는 부정적이지 않았다. 확률 이론은 하나의 통합 / 합산하는 음 이 아닌 함수에 대한 연구 입니까?

probability mathematical-statistics measure-theory

— 돈루
소스

예, 확률은 항상 1로 합산됩니다. 반면에 가능성 에는 이러한 제약이 없습니다.

— Mike Hunter

2

언급 된 질문에 대한 합리적인 대답은 아닙니다 .1에 통합 되는 많은 함수 가 있기 때문에 는 일부 및 확률을 나타낼 수 없습니다 . 예를 들어, 0과 1 사이의 1.5와 1과 2 사이의 -0.5, 다른 곳에서는 0 인 함수를 고려하십시오. (그러나 다른 이유로도 "아니오"일 수도 있습니다)

f

$f$

\int_{a}^{b} f (u) d u

$\int_{a}^b f(u) du$

a

$a$

b

$b$

— Glen_b-복지국 Monica

2

관련 : stats.stackexchange.com/questions/214485/…

— Ilmari Karonen

1

부정적인 가능성에 관한 심각한 논문이 있습니다 (예 : Maurice S. Bartlett). doi.org/10.1017/S0305004100022398

— Nick Cox

2

@dontloo 내가 목표로하고있는 것은 Chaconne의 답변에서 Tao 따옴표로 잘 덮여 있습니다.

— Glen_b-복지 모니카

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순전히 공식적인 수준에서, 확률 이론을 총 측정 1을 가진 측정 공간 연구라고 부를 수 있지만, 이는 숫자 이론을 종료하는 숫자 열 연구를 말하는 것과 같습니다.

- 랜덤 매트릭스 이론에 대한 테리 타오의 주제에서 .

나는 이것이 정말로 근본적인 것이라고 생각합니다. 확률 공간 과 임의 변수 있고 푸시 포워드 측정 값 이면 이유는 밀도 는 이기 때문에 하나에 통합됩니다 . 그리고 그것은 pdfs 대 pmfs보다 더 근본적입니다. $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X : \Omega \to \mathbb R$ $P_X := P \circ X^{-1}$ $f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$ $P(\Omega) = 1$

증거는 다음과 같습니다.

\int_{R} f d μ = \int_{R} d P_{X} = P_{X} (R) = P ({ω \in Ω : X (ω) \in R}) = P (Ω) = 1.

$\int_{\mathbb R} f \,\text d\mu = \int_{\mathbb R} \,\text dP_X = P_X(\mathbb R) = P\left(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in \mathbb R\}\right) = P(\Omega) = 1.$

이 다모의 대답 (+1)의 거의 다른 표현 모든 CDFS는 càdlàg, 그리고에 CDFS의 집합 사이에 일대일 관계가 있기 때문에 및 모든 확률 조치의 세트 이지만 RV의 CDF가 그 분포의 관점에서 정의되기 때문에, I는 노력이 이러한 종류의 "시작"장소로서 확률 공간을 확인. $\mathbb R$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

CDF와 확률 측정 간의 대응 관계와이 질문에 대한 합리적인 답변이 어떻게되는지 자세히 설명하려고합니다.

우리는 두 가지 확률 측정으로 시작하고 해당 CDF를 분석하는 것으로 시작합니다. 대신 CDF로 시작하여 CDF에 의해 유도 된 측정 값을 살펴 봅니다.

하자 와 에 확률을 측정 할 하고하자 및 각각 CDFS 수 (즉, 와 유사에 대한 ). 와 확률 변수 (즉, 분포)의 미분 사상 조치를 대표하는 것 모두 있지만,이에 대한 어디에서 온 사실은 중요하지 않습니다. $Q$ $R$ $(\mathbb R, \mathbb B)$ $F_Q$ $F_R$ $F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$ $R$ $Q$ $R$

핵심 아이디어는 이것이다. 만약 와 이 풍부한 세트에 동의한다면, 그들은 그 세트에 의해 생성 된 -algebra 에 동의 한다. 직관적으로, 우리가 많은 수의 보완, 교차로 및 노조를 통해 모든 형성하는 잘 작동하는 이벤트 모음을 얻은 경우 모든 세트에 동의하면 모든 Borel에 동의하지 않을 흔들림이 없습니다. 세트. $Q$ $R$ $\sigma$ $\mathbb B$

그것을 공식화합시다. 하자 및하자 , 즉, 의 하위 집합입니다 하는 와 있기 때문에 그들이 비 보렐 세트에 동의하는 우리가 허용하고 동의 (및 정의). 참고 정의 된 ISN으로는 반드시 의 부분 집합 일 필요는 없습니다 . 우리의 목표는 입니다. $\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$ $\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$ $\mathcal L$ $\mathcal P(\mathbb R)$ $Q$ $R$ $\mathcal L$ $\mathbb B$ $\mathbb B \subseteq \mathcal L$

이 밝혀 그 합니다 ( -algebra 의해 생성 ) 사실상 우리가 희망 있도록 일정 충분히 큰 컬렉션하다 만약 사방 에 다음 그들은 모두에 동일 수밖에 . $\sigma(\mathscr S)$ $\sigma$ $\mathscr S$ $\mathbb B$ $\mathscr S$ $Q = R$ $\mathscr S$ $\mathbb B$

참고 유한 교차점 아래 닫히고, 그 (이 다음에서 보완 및 가산 이산 교차 하에서 닫혀 -additivity). 이것은 가 시스템 이고 이 시스템 이라는 것을 의미합니다 . 바이 - 정리 그러므로 우리가 그 . 의 요소 $\mathscr S$ $\mathcal L$ $\sigma$ $\mathscr S$ $\pi$ $\mathcal L$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$ $\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$ $\mathscr S$ 갑자기 임의 보렐 집합처럼 복잡한 인 근처이지만 어떤 보렐 세트의 요소의 보수, 조합, 및 교차점의 가산 횟수로 형성 할 수 있기 때문에 간의 단일 불일치가 없으면 및 에이 요소는 에 대한 의견 불일치가없는 것으로 이어집니다 . $\mathscr S$ $Q$ $R$ $\mathscr S$ $B \in \mathbb B$

우리는 방금 이면 ( ), 즉 의 맵 는 ~ 는 주사입니다. $F_Q = F_R$ $Q = R$ $\mathbb B$ $Q \mapsto F_Q$ $\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$ $\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

이제 다른 방향으로 가고자한다면 CDF 로 시작하여 와 같은 고유 확률 측정 가 있음을 보여 주려고합니다. . 이것은 우리의 매핑 것을 입증한다 사실에 전단 사 함수이다.이 방향을 위해, 우리는 정의 확률 또는 조치에 대한 참조없이. $F$ $Q$ $F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$ $Q \mapsto F_Q$ $F$

먼저 Stieltjes 측정 함수 를 함수 합니다. $G : \mathbb R \to \mathbb R$

$G$ 는 감소하지 않습니다
$G$ 는 연속적 임

(그리고이 정의에서 cádlàg가 따르는 방법에 유의하십시오. 그러나 추가적인 비 감소 제약 때문에 "대부분의 càdlàg 함수는 Stieltjes 함수를 측정하지 않습니다").

이것은 각 Stieltjes가 작동하는지 나타낼 수 고유 계수 유도 온 에 의해 정의 (자세한 내용은 Durrett의 확률 및 랜덤 프로세스 를 참조하십시오.) 예를 들어 Lebesgue 측정 값은 의해 유도됩니다 . $G$ $\mu$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

μ ((a, b]) = G (b) - G (a)

$\mu\left((a, b]\right) = G(b) - G(a)$

G (x) = x

$G(x) = x$

이제 CDF가 및 라는 추가 속성을 가진 Stieltjes 함수 임을 알 수 있습니다 , 우리는 모든 CDF에 대한 것을 보여주기 위해 그 결과를 적용 할 수있는 우리 고유 계수 얻을 온 로 정의 $F$ $\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$ $\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$ $F$ $Q$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

Q ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$Q\left((a, b]\right) = F(b) - F(a).$

참고 방법 및 따라서 는 확률 측정 값이며 다른 방향으로 갈 경우 를 정의하는 데 사용한 측정 값 입니다. $Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$ $Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$ $Q$ $F$

모두 함께 우리는 매핑 가 1-1이고 그 위에 와 사이의 가지고 있음을 . 이것을 실제 질문으로 되돌려 보면, 이것은 우리가 확률을 연구 대상으로 선언하는 대상으로서 CDF 또는 확률 측정 값을 동일하게 유지할 수 있음을 보여줍니다 (이것은 다소 모호한 노력임을 인식 함). 나는 개인적으로 여전히 확률 공간을 선호한다. 왜냐하면 이론은 그 방향으로 자연스럽게 흐르고 있지만 CDF는 "잘못"되지 않기 때문이다. $Q \mapsto F_Q$ $\mathscr P$ $\mathcal F$

— jld
소스

3

문제에 대한 더 넓은 관점을 위해 +1; Skorokhod의 cdlág 함수 공간은 Borel과 근본적으로 다른 확률 이론에 대한 현재의 개념 일 뿐이며, Skorokhod의 발견은 ~ 40 년 전으로 거슬러 올라갑니다. 다음 세기에 무엇을 발견 할 수 있는지 누가 알겠습니까?

— AdamO

1

@ AdamO는 절대적으로, 그리고 Archimedean이 아닌 확률과 같은 이상한 것들이 있습니다. 예 : 시그마 중독성이 얼마나 심각한 지)

— jld

나는 질문 제목을 읽고 Terence Tao로부터 그 인용구를 생각했다. 몇 년 전에 읽었어야 했지만 ( 2010 ) 정말 기억에 남습니다. 그가 말하기를, 실제적인 수준에서, 그 반대는 사실입니다…

— ShreevatsaR

질문에 대한 나의 의견을 참조하십시오 : 베이지안 (및 Dempster-Shafer 및 양도 적 믿음 모델 및 Dezert-Smarandache 이론)과 같은 대안적인 확률 이론, 불확실한 확률, 타당성 이론 등이이 질문 및 토론과 어떻게 관련되어 있습니까?

— E. Douglas Jensen

@ E.DouglasJensen 확실하지 않습니다, 나는 표준 Kolmogorov 공리의 관점에서 이것을 다루고 있습니다. 그래서 그 맥락에서 내 대답은 "올바른 것"이라고 생각하지만, 우리가 공리를 변경하면 모든 베팅이 해제 된 것으로 가정합니다 . 또한 나는 이것에 대해 전혀 철학적이지 않기 때문에 어떤 식 으로든 현실 세계에 연결하려고한다면, "태양이 떠오르는 확률은 얼마입니까?" 더 복잡한. 그럼에도 불구하고, "모든 것"이 일어날 확률이 최대 값 (아마도 )이고 그에 대한 불확실성이 없다는 것이 꽤 안전한 내기 인 것 같습니다

1

$1$

— jld

12

아니; 캔터 분포는 바로 그러한의 반례이다. 랜덤 변수이지만 밀도가 없습니다. 그러나 분배 기능이 있습니다. 그래서 저는 그 확률 이론의 연구이다, 말을 càdlàg의 0의 왼쪽 한계 (1)의 권리 제한이 선창자 DF 포함 기능,.

— AdamO
소스

cadlag 함수에 대해 들어 본 적이 없습니다. 그러나 이들은 여전히 실제 및 미터법 공간을 가정합니다. 이러한 공간에서 모든 확률 이론이 수행되는 것은 아닙니다.

— HRSE

1

예를 들어 테렌스 파인, 확률 이론으로 돌아갈 수 있습니다. 또한 cadlag 함수 (적어도 위키피디아 기사에 따르면)는 도메인으로서 실수를 갖습니다. LJ Savage의 "통계 발견"은 반드시 실제가 아닌 공간에 대한 (주관적인) 확률 이론을 설명합니다.

— HRSE

1

@jwg이 포스트의 다른 의견들은 부정적인 확률을 언급하는데, 이것은 나의 단순한 마음이 그런 것을 추측 할 수는 없지만 양자 물리학에서 일부 사용되는 것으로 보입니다.

— AdamO

1

@HRSE 참조 주셔서 감사합니다. 나는 그들 중 하나를 온라인으로 찾을 수 없었지만 나는 이것에 대한 예를 찾지 못했지만 그 저자들의 다른 논문을 훑어 보았습니다. 랜덤 변수 를 으로 정의하는 경우 CDF는 푸시 포워드 측정 값 (측정 값 아님)으로 정의 됩니다. ) 이후 실제 평가된다 필요에 측정 가 같은 세트 우리가 공급할 수있는 수단 그래서 는 을 도메인으로 가지고 있습니다.

X

$X$

X : Ω \to R^{n}

$X : \Omega \to \mathbb R^n$

P_{X} := P \circ X^{- 1}

$P_X := P \circ X^{-1}$

P

$P$

(Ω, F)

$(\Omega, \mathscr F)$

X

$X$

P_{X}

$P_X$

(R^{n}, B^{n})

$(\mathbb R^n, \mathbb B^n)$

(- \infty, a]

$(-\infty, a]$

F

$F$

R^{n}

$\mathbb R^n$

— jld

1

잘 정렬 된 것은 모든 하위 집합에 최소 요소가있는 것을 의미하지만 완전히 정렬 된 모든 및 대한 의미는 정확히 , 또는 보유 중 하나이므로 은 둘 다 은 단지 완전히 주문 및 둘입니다. 우리는 절대적으로 곱셈에 필요의 아주 최소한 공역에서 너무 확률을 추가 마땅 필드로, 그러나 나는 생각하지 않는다 가 완전히 주문 또는 완료 할 수 있습니다. 복합 가치 측정은 첫 번째 예이고 초현실 가치 측정은 두 번째 예입니다. 이 모든 것은 미터법 공간입니다.

x

$x$

y

$y$

x < y

$x<y$

x > y

$x>y$

x = y

$x=y$

N

$\mathbb N$

R

$\mathbb R$

C

$\mathbb C$

P

$P$

— jld

6

나는 당신이 좋은 대답을 얻을 것이라고 확신하지만, 여기에서 약간 다른 관점을 줄 것입니다.

당신은 물리학자가 물리학이 거의 수학이라고 말하거나 수학을 가장 기본적인 자연 법칙에 적용한다고 말하는 것을 들었을 것입니다. 일부 수학자 (많은?)는 실제로 이것이 사실이라고 믿습니다. 나는 대학에서 계속해서 들었습니다. 이와 관련하여 비슷한 질문을하고 있지만이 질문만큼 광범위하지는 않습니다.

물리학자는 일반적으로이 진술에 응답하지도 않습니다. 사실이 아니라는 것은 너무 분명합니다. 그러나, 당신이 대답하려고하면, 그 대답을 설득력있게 만들고 싶다면 대답이 그렇게 사소한 것이 아니라는 것이 분명해집니다.

내 대답은 물리학은 단순한 모델과 방정식과 이론이 아니라는 것입니다. 자체 접근 방식과 도구, 휴리스틱 및 사고 방식이있는 필드입니다. 그것이 비록 아인슈타인 이전에 포인 케어가 상대성 이론을 발전 시켰지만 모든 의미를 깨닫지 못하고 모든 사람을 기르려고하지 않은 이유입니다. 아인슈타인은 물리학 자 였기 때문에 그 의미를 즉시 얻었습니다. 나는 그 사람의 팬이 아니지만, 브라운 운동에 대한 그의 작품은 물리학자가 수학적 모델을 만드는 방법의 또 다른 예입니다. 그 종이는 놀랍고, 직설적이고 생각이 가득한 물리학으로 가득 차 있습니다.

따라서, 당신에 대한 나의 대답은 확률이 당신이 묘사 한 함수의 종류를 다루는 경우에도 그 함수에 대한 연구는 아니었을 것입니다. 또한 일부 하위 등급에 적용되는 측정 이론도 아닙니다. 확률 이론은 확률을 연구하는 별개의 분야이며, 방사성 붕괴와 양자 역학 및 가스 등을 통해 자연 세계와 연결되어 있습니다. 특정 기능이 확률을 모형화하기에 적합한 것으로 보이는 경우, 우리는이를 사용하여 연구합니다. 속성도 있지만 그렇게하면서 우리는 주된 상 – 확률에 주목할 것입니다.

— 악사 칼
소스

1

수학 싸움 현실을 가져오고 +1 실제로 그러한 환원이 포인트를 벗어났습니다 것을 즉, 유일한 합리적인 대답으로 질문에 대답

— JLD을

@Chaconne 나는 오늘 축소주의 유용한 단어를 배웠고, 그것을 나의 어휘에 포함 시킬 것이다 :)

— Aksakal

+1, 이것이 내 대답으로 말하려는 것이지만, 나는 당신이 생각하는 것보다 덜 효과적이라고 말했습니다.

— Nathaniel

4

글쎄, 부분적으로 사실, 그것은 두 번째 조건이 부족합니다. 음의 확률은 의미가 없습니다. 따라서 이러한 기능은 두 가지 조건을 만족해야합니다.

연속 분포 :
$\int_{D} f (x) d x = 1 and f (x) > 0 \forall x \in D$ $\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$
이산 분포 :
$\sum_{x \in D} P (x) = 1 and 0 < P (x) \leq 1 \forall x \in D$ $\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$

여기서 는 확률 분포가 정의 된 도메인입니다. $\mathcal{D}$

— 카를로스 캄포스
소스

대답에 대해 많은 Carlos에게 감사드립니다. 실제로 비 부정적인 조건이 추가되었는지 어떻게 알고 싶습니까?

— dontloo

1

확률 밀도 / 질량 함수 (상위 특성을 충족)를 연구하기 위해 확률 필드를 줄이는 것이 너무 어렵다고 말할 수 있습니다. 또한 @AdamO에서 언급했듯이 cdf가 잘 정의되어 있어도 확률 밀도 함수를 갖지 않는 임의의 변수가 있습니다.

— Carlos Campos

@CarlosCampos : 부정적인 확률에 관하여 : 그들은 실제로 일부 상황 (예 : 반 동전)에서 의미가 있습니다. 자세한 내용은 en.wikipedia.org/wiki/Negative_probability 를 참조하십시오 .

— Inkane

3

나는 그렇지 않다고 말할 것입니다. 그것은 기본적으로 확률 이론이 아닙니다. 그러나 나는 다른 답과 다른 이유로 그것을 말할 것입니다.

기본적으로 확률 이론은 두 가지에 대한 연구입니다.

확률 적 프로세스 및
베이지안 추론.

확률 론적 과정에는 롤링 주사위, 항아리에서 공 그리기 등의 물리학 및 수학에서 볼 수있는보다 정교한 모델이 포함됩니다. 베이지안 추론은 불확실성 하에서 확률을 사용하여 알려지지 않은 수량의 가치를 나타냅니다.

이 두 가지는 처음에 보이는 것보다 더 밀접한 관련이 있습니다. 우리가 같은 우산 아래에서 그것들을 연구 할 수있는 한 가지 이유는 둘 다의 중요한 측면이 하나의 합계 / 통합 비음 수 함수로 표현 될 수 있기 때문입니다. 그러나 확률은 그러한 기능에 대한 연구가 아니라 랜덤 프로세스와 추론에 대한 해석도 중요한 부분입니다.

예를 들어, 확률 이론에는 조건부 확률 및 랜덤 변수와 같은 개념과 엔트로피, 상호 정보, 랜덤 변수의 기대 및 분산과 같은 수량이 포함됩니다. 정규화 된 음이 아닌 함수의 관점에서 이러한 것들을 순수하게 정의 할 수는 있지만 , 임의의 프로세스와 추론의 관점에서 해석하지 않으면 이것에 대한 동기가 매우 이상하게 보일 것입니다.

또한 확률 이론의 개념, 특히 추론 측면에서 개념을 발견하는 경우가 있는데, 이는 정규화하는 음이 아닌 함수로 표현할 수 없습니다. 소위 "부적절한 사전"이 여기에 떠오른 후 AdamO는 또 다른 예로 Cantor 배포판을 제공했습니다.

내가 언급 한 두 가지 적용 영역이 중요하지 않은 정규화 된 음이 아닌 함수의 수학적 특성에 주된 관심사가있는 확률 이론의 일부 영역이 확실히 있습니다. 이런 경우, 우리는 종종 확률 이론보다는 측정 이론이라고 부릅니다. 그러나 확률 이론은 실제로 대부분 적용 분야이며, 확률 분포의 적용 자체는 그 분야의 중요하지 않은 구성 요소입니다.

— 나다니엘
소스

2

확률 이론에서 주제 영역을 상당히 좁게 만들었습니다.

— Tim

@ 목적이 아님-나는 그것을 두 영역으로 나누었지만 각 영역을 매우 광범위하게 해석하려고했습니다. 제목에 맞지 않는 다른 주제를 말씀해 주시겠습니까?

— Nathaniel