왜 ?

15

나는 그것을 생각

P (A | B) = P (A | B, C) * P (C) + P (A | B, \neg C) * P (\neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) * P(C) + P(A|B,\neg C) * P(\neg C)$

정확하지만

P (A | B) = P (A | B, C) + P (A | B, \neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) + P(A|B,\neg C)$

부정확하다.

그러나 나는 나중에 대해 "직관"을 얻었습니다. 즉, 두 경우 (C 또는 C가 아닌)를 분할하여 확률 P (A | B)를 고려합니다. 이 직관이 왜 틀린가?

probability bayesian

— 젤
소스

4

다음은 방정식을 테스트하는 간단한 예입니다. 독립적이고 공정한 동전 두 개를 던져라. 하자 (가) 첫 머리를 제공하는 경우 수, 두 번째는 머리를 제공하고있는 이벤트가 될 모두 머리를 마련하는 행사. 가 중 당신이 쓴 방정식은 맞습니까?

A

$A$

B

$B$

C

$C$

— A. Rex

4

총 확률 의 법칙에 따르면 조건부 확률의 합으로 무조건 확률을 표현하려면 조건부 이벤트를 기준으로 가중치를 부여해야합니다. 예 :

P (A) = P (A | B) P (B) + P (A | \bar{B}) P (\bar{B})

$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B})$

— AdamO

25

확률 것을 쉽게 이의 예로서 가정 의 인 상관없이 값, . 그런 다음 잘못된 방정식 을 취하면 다음 을 얻습니다. $P(A)$ $A$ $1$ $C$

$P(A | B) = P(A | B, C) + P(A | B, \neg C) = 1 + 1 = 2$

분명히 정확하지 않을 수도 있습니다. 아마도 보다 클 수는 없습니다 . 이를 통해 두 경우 각각에 가중치를 할당하여 해당 사례의 확률에 비례 ~~하여 첫 번째 (올바른) 방정식을 도출 할 수 있습니다.~~ . $1$

그것은 당신에게 첫 번째 방정식에 더 가까워 지지만 가중치는 완전히 맞지 않습니다. 올바른 무게에 대해서는 A. Rex의 설명을 참조하십시오.

— 데니스 수메르
소스

1

"제 1 (정확한) 방정식"의 가중치가 및 이어야합니까, 아니면 및 이어야 합니까?

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

P (C ∣ B)

$P(C\mid B)$

P (\neg C ∣ B)

$P(\neg C\mid B)$

— A. Rex

@ A.Rex 좋은 정확성입니다. 정확성을 위해서는 와 이어야합니다 . 방정식의 왼쪽에있는 모든 것 (단일 용어)은 가 주어진 것으로 가정 하므로 추가 가정없이 ( 와 가 서로 독립적 이라고 가정 할 때 ) 오른쪽의 경우와 동일해야합니다 쪽

P (C | B)

$P(C | B)$

P (\neg C | B)

$P(\neg C | B)$

B

$B$

B

$B$

C

$C$

— 데니스 Soemers

A | B가 200 % 확실하다고 생각하십시오.

— Mark L. Stone

@ MarkL.Stone 항상 두 번 발생한다는 의미입니까? ;)

— Monica Monica 복원

9

데니스의 대답은 잘못된 예를 반박하는 훌륭한 반례가 있습니다. 이 답변은 왜 다음 방정식이 옳은지를 설명하려고합니다.

P (A | B) = P (A | C, B) P (C | B) + P (A | \neg C, B) P (\neg C | B) .

$P(A|B) = P(A|C,B) P(C|B) + P(A|\neg C,B) P(\neg C|B).$

모든 항이 조건이 있으므로 전체 확률 공간을 바꾸고 항을 삭제할 수 있습니다. 이것은 우리에게 : $B$ $B$ $B$

P (A) = P (A | C) P (C) + P (A | \neg C) P (\neg C) .

$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|\neg C) P(\neg C).$

그런 다음이 방정식에 왜 및 항이 있는지 묻습니다 . $P(C)$ $P(\neg C)$

그 이유이다 부분된다 에서 및 의 부분 인 에 와 두 합산 에 . 다이어그램을 참조하십시오. 반면에 는 포함 의 비율 이고 는 포함 의 비율입니다 -이들은 서로 다른 영역의 비율이므로 공통 분모를 갖지 않습니다. 그래서 그것들을 추가하는 것은 의미가 없습니다. $P(A|C) P(C)$ $A$ $C$ $P(A|\neg C) P(\neg C)$ $A$ $\neg C$ $A$ $P(A|C)$ $C$ $A$ $P(A|\neg C)$ $\neg C$ $A$

— 복원 모니카
소스

2

"모든 것이

조정되는 것은 아닙니다" . 특히,

와

그냥 삭제할 수 없습니다, 그래서하지 않은

. 또한, 이것은 방정식이 잘못되었음을 암시 할 수 있습니다!

B

$B$

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

B

$B$

— A. Rex

A.Rex 기술적으로 당신 맞아요 @, 내가 관련된 모든 용어 말했다한다

조건으로되어

(I 간단한 대체했다

). 답을 바로 잡겠습니다.

A

$A$

B

$B$

A | B \to A

$A|B \rightarrow A$

— Reinstate Monica

5

나의 반대는 기술이 아니었다. 다이어그램 올바르게 증명하는

에 컨디셔닝 후하는

하게

P (A) = P (A ∣ C) P (C) + P (A ∣ \neg C) P (\neg C)

$P(A) = P(A\mid C) P(C) + P(A\mid\neg C) P(\neg C)$

B

$B$

;

와

의 확률도

됩니다. 이것은 OP에 주어진 첫 번째 방정식이 아니며 OP에 주어진 첫 번째 방정식이 올바르지 않기 때문에 좋은 소식입니다.

P (A ∣ B) = P (A ∣ B, C) P (C ∣ B) + P (A ∣ B, \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A\mid B) = P(A\mid B,C) P(C\mid B) + P(A\mid B,\neg C) P(\neg C\mid B)$

C

$C$

\neg C

$\neg C$

B

$B$

— A. Rex

A.Rex @ 당신이 바로 다시 한번,하는

또한 조건으로합니다

확률 공간의 비율에 포함 된

의 비율과 동일하지 않을 수 있습니다

에 포함 된

. 이 시점은 나를 탈출했다. 다시 수정하겠습니다.

C

$C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

— Reinstate Monica

7

나는 당신이 이미 당신의 질문에 대한 두 가지 위대한 대답을 받았다는 것을 알고 있지만, 직관 뒤에 아이디어를 올바른 방정식으로 바꿀 수있는 방법을 지적하고 싶었습니다.

먼저, 과 동등하게. $P(X \mid Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ $P(X \cap Y) = P(X \mid Y)P(Y)$

실수를 피하기 위해 이전 단락의 첫 번째 방정식을 사용하여 모든 조건부 확률을 제거한 다음 교차점 및 이벤트 조합과 관련된 표현식을 다시 작성하고 이전 단락의 두 번째 방정식을 사용하여 마지막에 조건부를 다시 소개합니다 . 따라서 우리는 다음으로 시작합니다 :

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

원하는 방정식을 얻을 때까지 오른쪽을 계속 다시 작성합니다.

직관의 사례는 사건 를 로 확장하여 $A$ $(A \cap C) \cup (A \cap \neg C)$

P (A ∣ B) = \frac{P (((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P(B)}$

세트와 마찬가지로 교차점은 유니온에 분포됩니다.

P (A ∣ B) = \frac{P ((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P(B)}$

두 이벤트가 분자에 UNION을하고 있기 때문에 (이후 상호 배타적 와 모두 일어날 수), 우리는 합계 규칙을 사용할 수 있습니다 : $C$ $\neg C$

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (A \cap B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \cap B \cap \neg C)}{P(B)}$

우리는 이제 볼 ; 따라서 주어진 이벤트 ( "오른쪽")를 동일하게 유지하면 관심있는 이벤트 (조건부 막대의 "왼쪽")에있는 이벤트의 합계 규칙을 사용할 수 있습니다. 이것은 다른 평등 증명의 일반적인 규칙으로도 사용될 수 있습니다. $P(A \mid B) = P(A \cap C \mid B) + P(A \cap \neg C \mid B)$

P (A \cap (B \cap C)) = P (A ∣ B \cap C) P (B \cap C)

$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)$

\neg C

$\neg C$

$P(A \mid B)$

P (A ∣ B) = \frac{P (A ∣ B \cap C) P (B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (A ∣ B \cap \neg C) P (B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \mid B \cap \neg C)P(B \cap \neg C)}{P(B)}$

$\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = P(C \mid B)$ $\neg C$

P (A ∣ B) = P (A ∣ B \cap C) P (C ∣ B) + P (A ∣ B \cap \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A \mid B) = P(A \mid B \cap C)P(C \mid B) + P(A \mid B \cap \neg C)P(\neg C \mid B)$

수정 A를 포함한 올바른 방정식 (약간 다른 표기법 임)은 무엇입니까? Rex가 지적했습니다.

$P(A \cap C \mid B)$ $P(A \mid B \cap C)P(C \mid B)$ $P(A \cap C) = P(A \mid C)P(C)$ $B$ $P(A \cap C)$ $P(A \mid C)$ $P(C)$

— 야와 르
소스

2

P (A ∣ B) = P (A \cap C ∣ B) + P (A \cap \neg C ∣ B)

$P(A\mid B)=P(A\cap C\mid B)+P(A\cap\neg C\mid B)$

감사! 이것이 내가 원했던 요점이지만 교차점이 오른쪽이 아닌 왼쪽으로 이동하는 이유 를 대략적으로 설명 할 수 없었 으므로 대신 수식을 사용했습니다. 또한 방금 당신이 OP의 공식에서 실수를 지적한 사람이라는 것을 알았습니다. (아마도 아마 눈치 채지 못했을 것입니다.)

— YawarRaza7349

2

$P(\text{rain|March})$

\begin{aligned} P (rain or snow|March) & = \frac{(number of rainy or snowy days in March)}{(total number of days in March)} \\ = \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} + \\ \frac{(number of snowy days in March)}{(total number of days in March)} \\ = P (rain|March) + P (snow|March) \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{rain or snow|March}) &= \frac{(\text{number of rainy or snowy days in March})}{(\text{total number of days in March})} \\[7pt] &= \frac{(\text{number of rainy days in March})}{(\text{total number of days in March)}} + \\[4pt] &\qquad \frac{\text{(number of snowy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} \\[7pt] &= P(\text{rain|March})+P(\text{snow|March}) \end{align}$

$P(\text{rain|February or March})$

\frac{(number of rainy days in February and March)}{(total number of days in February and March)} .

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March})}.$

그러나 그것은 같지 않습니다

\frac{(number of rainy days in February)}{(total number of days in February)} + \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} .

$\frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February})} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}}.$

당신이 그것을 보는 데 어려움이 있다면, 당신은 몇 가지 숫자를 시도 할 수 있습니다. 2 월에는 10 일, 3 월에는 8 일의 비오는 날이 있다고 가정합니다. 그럼 우리는

\frac{(number of rainy days in February and March)}{(total number of days in February and March)} = (10 + 8) / (28 + 31) = 29.5 %

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March)}} = (10+8)/(28+31) = 29.5\%$

과

\begin{aligned} \frac{(number of rainy days in February)}{(total number of days in February)} + \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} & = (10 / 28) + (8 / 31) \\ = 35.7 % + 25.8 % \\ = 61.5 % \end{aligned}

$\begin{align} \frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February)}} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} &= (10/28)+(8/31) \\ &= 35.7\% + 25.8\% \\ &= 61.5\% \end{align}$

$P(A|B)=P(A|B,C)+P(A|B,¬C)$ $\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}$

— 축적
소스

1

P (s u n b u r n t | S p a i n) = 0.2

$P(sunburnt | Spain)=0.2$

P (s u n b u r n t | \neg S p a i n) = 0.1

$P(sunburnt|\neg Spain)=0.1$

P (s u n b u r n t) = 0.2

$P(sunburnt)=0.2$

B = Ω

$B=\Omega$

P (B) = 1

$P(B)=1$

P (A) = P (A | C) + P (A | \neg C)

$P(A)=P(A|C)+P(A|\neg C)$

— 주 장관
소스