사후 확률이> 1 일 수 있습니까?

베이 즈 공식에서 :

P (x | a) = \frac{P (a | x) P (x)}{P (a)}

$P(x|a) = \frac{P(a|x) P(x)}{P(a)}$

후방 확률 가 1을 초과 할 수 있습니까? $P(x|a)$

예를 들어 , , . 그러나 나는 이것이 확실하지 않습니다. 왜냐하면 확률이 1보다 크다는 것은 무엇을 의미합니까? $0 < P(a) < 1$ $P(a) < P(x) < 1$ $P(a)/P(x) < P(a|x) < 1$

probability bayesian conditional-probability

— 토마스 무어
소스

표기법을 정의 할 때 정확해야합니다. 무엇을 나타내는 지 확실하지 않습니다 . 경우 (a) 확률 분포 (있는 경우이다 및 세트이다) 또는 (b) 개별 공간 질량 함수가 다음 이미 응답 본질적 올. 경우 밀도 함수 인 것으로 이해된다, 다음은 사실이 아니다 . nitpicking의 이유는 세 가지 유형의 함수가 모두 Bayes 규칙을 만족시키기 때문입니다. 표기법 은 일반적으로 분포에 대한 것이지만 인수에 소문자를 사용하면 밀도가 나타납니다.

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

a

$a$

x

$x$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (x ∣ a) \leq 1

$P(x \mid a) \le 1$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

— guy

P (x ∣ a) = \frac{P (x, a)}{P (a)} \leq \frac{P (a)}{P (a)} = 1

$P(x\mid a) = \frac{P(x,a) }{P(a)} \le \frac{P(a) }{P(a)} =1$ 이므로 사후 확률은 초과 할 수 없습니다 . (후부 밀도는 다른 문제 입니다. 일부 연속 분포의 밀도 는 일부 값의 경우 을 초과 합니다.)

1

$1$

1

$1$

— Henry

계산 된 후방이 1을 초과하면 어딘가에 실수 한 것입니다.

— Emil M Friedman

@EmilMFriedman, 귀하의 답변은 "계산 된 후부" 확률 또는 밀도

— whuber

가능성의 통일 장벽은 깨졌을 수도 있고 깨졌습니다. 내 게시물 AT stats.stackexchange.com/questions/4220/…을 참조하십시오 .

— Mark L. Stone

답변:

가정 된 조건은 유지되지 않습니다. 조건부 확률 의 정의에 의해 것은 결코 사실이 아닙니다 . $P(a)/P(x) < P(a|x)$

$P(a|x) = P(a\cap x) / P(x) \leq P(a) / P(x)$

— khol
소스

아니요, 사후 확률이 1을 초과 할 수는 없습니다. 그것은 확률론의 규범 적 공리를 어길 것입니다. 조건부 확률 규칙을 사용하면 다음이 있어야합니다.

P (a | x) = \frac{P (a, x)}{P (x)} ⩽ \frac{P (a)}{P (x)} .

$\mathbb{P}(a | x) = \frac{\mathbb{P}(a,x)}{\mathbb{P}(x)} \leqslant \frac{\mathbb{P}(a)}{\mathbb{P}(x)}.$

이는 지정한 불평등 조건을 가질 수 없음을 의미합니다. (우연히, 이것은 좋은 질문입니다. 문제를 찾을 확률 법칙을 조사하는 것이 좋습니다. 그것은 대부분의 학생들보다 더 엄격하게 이러한 문제를 탐구하고 있음을 보여줍니다.)

추가 요점 : 이 상황에 대해 다른 확률 특성의 논리적 우선 순위에 대한 추가 요점을 하나 더 제시 할 가치가 있습니다. 확률 이론은 확률 측정이 실제로 무엇인지 특성화 하는 일련의 공리로 시작한다는 것을 기억하십시오 . 이러한 공리에서 우리는 공리에서 파생 된 정리 인 "확률 규칙"을 도출 할 수 있습니다. 이 확률 규칙은 유효한 공리와 일치해야합니다. 확률 규칙이 공리 중 하나와 모순되는 것으로 판명 된 경우 (예 : 표본 공간의 확률이 1보다 큼) 공리를 위조하지는 않습니다 . 즉, 확률 규칙을 위조합니다 . 따라서,이 경우하더라도 베이 즈 '규칙은 할 수사후 확률이 1보다 크면 (그렇지 않음), 사후 확률이 1보다 클 수는 없습니다. 그것은 단순히 베이 즈의 법칙이 유효한 확률 법칙이 아니라는 것을 의미합니다.

— 복원 모니카
소스

최종 분자는 P (x) 여야합니까?

— BallpointBen

아직도 나에게 P (a)를 보여

— BallpointBen

분자에서 P (a)로 가정합니다. 불평등은 자신의 질문에 지정된대로 P (a | x)> P (a) / P (x)를 가질 수 없다는 OP를 보여줍니다.

— Monica Monica

Bayes 공식 는 초과하는 값을 제공 할 수 없습니다 . 이 참조하는 직관적 인 방법을 표현하는 같은 전체 확률의 법칙을 통해 제공하는 이것은 분자가 분모의 합의 항 중 하나 일 뿐이므로 분수 값 이 을 초과 할 수 없습니다 . $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ $P(B\mid A)$ $1$ $P(A)$

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})

$P(A) = P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)$

P (B ∣ A) = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A)} = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})}

$P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)}$

1

$1$

— 디립 사르 베이트
소스

+1 이것은 가장 쉬운 증거입니다.

— Mehrdad

@Mehrdad 감사합니다. 다른 답변 본질적 조건부 확률 증명 초과 할 수있다 , 그 결과를 통해 초과 할 수 없다 하기 때문에 그리고 있어야 그래서 와 거의 관계가 그 자체 를 사전 확률 파생 사후 확률에 대한 통계에 사용되는 (베이 즈 수식을 ).

P (B ∣ A)

$P(B\mid A)$

1

$1$

P (A ∣ B) P (B) = P \A \cap B)

$P(A\mid B)P(B) = P\A\cap B)$

P (A)

$P(A)$

A \cap B \subset A

$A\cap B \subset A$

P \A \cap B) \leq P (A)

$P\A\cap B) \leq P(A)$

— Dilip Sarwate