트레이스 함수의 예상 값 및 분산

임의의 변수 및 양의 반정의 행렬 : 기대 값 및 분산에 대한 단순화 된 표현이 있습니까? , ? 있습니다 임의의 변수가 아닙니다. $X \in \mathbb{R}^h$ $A$ $\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$ $Var[Tr(X^TAX)]$ $A$

— 영구차
소스

이후 스칼라이다 되도록 . $X^TAX$

Tr (X^{T} A X) = X^{T} A X = Tr (A X X^{T})

$\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$

E (X^{T} A X) = E (Tr (A X X^{T})) = Tr (E (A X X^{T})) = Tr (A E (X X^{T}))

$\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}(\text{E} (A XX^T)) = \text{Tr}(A\text{E}(XX^T))$

여기서 우리는 제품의 흔적이 요인의 주기적 순열 하에서 변하지 않으며, 추적이 선형 연산자이므로 기대 값으로 통근한다는 것을 사용했습니다. 분산은 훨씬 더 복잡한 계산이며 더 높은 모멘트가 필요합니다 . 이 계산은 Seber에서 찾을 수 있습니다 : "선형 회귀 분석"(Wiley) $X$

— 크 제틸 비 할보 르센
소스

왜 입니까?

T r (X^{T} A X) = X^{T} A X

$Tr(X^T AX) = X^T AX$

— Aqqqq

는 숫자 이기 때문에

X^{T} A X

$X^TAX$

— kjetil b halvorsen