Mantel 테스트를 비대칭 매트릭스로 확장 할 수 있습니까?

벽난로 테스트는 일반적으로 대칭 거리 / 차 행렬에 적용됩니다. 내가 이해하는 한, 테스트의 가정은 차이를 정의하는 데 사용되는 측정 값이 최소한 반 메트릭이어야한다는 것입니다 (삼각형 불평등이 아닌 메트릭의 표준 요구 사항을 충족해야 함).

대칭의 가정이 완화 될 수 있습니까 (사전 측정치 제공)? 이 경우 전체 행렬을 사용하여 순열 테스트를 적용 할 수 있습니까?

확장 할 필요가 없습니다. Mantel의 1967 년 논문에 제시된 최초의 Mantel 테스트 는 비대칭 행렬을 허용합니다. 이 테스트는 두 거리 행렬 와 합니다.X $n\times n$$X$$Y$

이 시점에서 통계의 수정이 예상되어 아래에서 개발 될 통계 절차를 단순화 할 수 있습니다. 수정은 제한 를 제거 하고 제한 로만 바꾸는 것 입니다. 어디 과 , 수정의 효과는 단순히 정확하게 합계의 값을 두 배로. 그러나, 거리 관계가 대칭이 아닌 경우, 즉 및 가능성 이있는 경우에도 개발 된 절차는 적절 하다 . 다음은 .i ≠ j X i j = X j i Y i j = Y j i X i j ≠ X j i Y i j ≠ Y j i X i j = − X j i , Y i j = − Y j $i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$$X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

(섹션 4에서 강조 표시됨).

대칭 은 "dist"클래스의 객체를 사용하여 거리 행렬을 저장하고 조작하는 for 패키지 와 같은 많은 소프트웨어에서 인공 조건으로 보입니다 . 조작 기능은 거리가 대칭이라고 가정합니다. 이러한 이유로 절차를 비대칭 행렬에 적용 할 수는 없지만 테스트 자체의 속성이 아니라 소프트웨어 제한 사항입니다.ade4Rmantel.rtest

테스트 자체가 필요로 표시되지 않습니다 어떤 행렬의 특성을. 분명히 ( 앞의 구절의 끝에서 비대칭 참조에 대한 명시 적 참조로 인해 ) 또는 의 항목 이 양수일 필요조차 없습니다 . 테스트 통계로 두 행렬 ( 요소가있는 벡터로 간주)의 상관 관계 측정을 사용하는 순열 테스트 일뿐입니다 .Y N $X$$Y$$n^2$

원칙적으로 나열 할 수 있습니다우리 가능한 데이터, 연산의 순열 각 순열 [시험 통계, 및 귀무 분포를 구하는 의 관측 된 값에 대해 판단 할 수있다.Z Z $n!$$Z$$Z$$Z$

[ 아이비드. ]

실제로 Mantel은 매트릭스가 거리 매트릭스 일 필요는 없으며이 가능성의 중요성을 강조했다 .

일반적인 경우 공식은 와 가 군집 문제에서 부과 된 산술 및 기하학적 규칙을 따르지 않는 경우에도 적합합니다. 예를 들어 , 입니다. 광범위한 절차에 대한 확장의 기초가되는 임의의 와 일반적인 절차를 적용 할 수 있습니다. Y i j X i k ≤ X i j + X j k X i j Y i $X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(이 예는 삼각형 불평등을 나타냅니다.)

예를 들어, 그는 "대인 관계에 대한 연구"를 제공했는데, 여기서 "우리는 개인과 2 개의 서로 다른 측정치, 대칭 또는 비대칭 , 각 개인을 나머지 과 관련시킵니다 "(강조 추가)했습니다.n - $n$$n-1$

부록에서 Mantel은 " 의 순열 분산을 도출 하여 행렬의 대각선 요소가 상수이며 잠재적으로 0이 아닌 것보다 더 강력한 가정을하지 않았습니다 .$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

결론적으로, 메트릭 공리의 시작마다 하나되어 명시 적으로 고려하고 테스트에 중요하지 않은 것으로 거부 :

1. "거리"는 음수 일 수 있습니다.

2. 개체와 개체 사이의 "거리"는 0이 아닐 수 있습니다.

3. 삼각형 부등식은 유지할 필요가 없습니다.

4. "거리"는 대칭 일 필요는 없습니다.

Mantel의 제안 된 통계량 은 비대칭 거리에서 제대로 작동하지 않을 수 있음을 말함으로써 끝낼 것 입니다. 문제는 효율적으로이 같은 행렬을 구별하는 테스트 통계를 찾을 수 있습니다 : 사용 하는 순열 시험 대신 제품의 합이다.$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

이것은의 테스트 예입니다 R. 두 개의 거리 행렬 x과가 주어지면 y순열 분포의 샘플을 (통계량 값의 벡터로) 반환합니다. 그것은 그 필요하지 않습니다 x또는 y모두에서 특정 속성을 가지고있다. 그것들은 같은 크기의 정사각 행렬이어야합니다.

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}