희소 데이터를 기반으로하는 공분산 행렬의 고유 및 svd 분해가 다른 결과를 생성하는 이유는 무엇입니까?

희소 / 갭피 데이터 세트를 기반으로 공분산 행렬을 분해하려고합니다. 로 계산 된 람다 (설명 된 분산)의 합이 svd점점 더 좁아지는 데이터로 증폭되고 있음을 알았습니다. 틈없이, svd그리고 eigen높을 동일한 결과.

이것은 eigen분해 로 발생하지 않는 것 같습니다 . svd람다 값이 항상 양수이기 때문에 사용에 기울고 있었지만이 경향은 걱정입니다. 적용해야 할 일종의 수정이 있습니까? 아니면 svd그러한 문제로 인해 피해야 합니다.

###Make complete and gappy data set
set.seed(1)
x <- 1:100
y <- 1:100
grd <- expand.grid(x=x, y=y)

#complete data
z <- matrix(runif(dim(grd)[1]), length(x), length(y))
image(x,y,z, col=rainbow(100))

#gappy data
zg <- replace(z, sample(seq(z), length(z)*0.5), NaN)
image(x,y,zg, col=rainbow(100))


###Covariance matrix decomposition
#complete data
C <- cov(z, use="pair")
E <- eigen(C)
S <- svd(C)

sum(E$values)
sum(S$d)
sum(diag(C))


#gappy data (50%)
Cg <- cov(zg, use="pair")
Eg <- eigen(Cg)
Sg <- svd(Cg)

sum(Eg$values)
sum(Sg$d)
sum(diag(Cg))



###Illustration of amplification of Lambda
set.seed(1)
frac <- seq(0,0.5,0.1)
E.lambda <- list()
S.lambda <- list()
for(i in seq(frac)){
    zi <- z
    NA.pos <- sample(seq(z), length(z)*frac[i])
    if(length(NA.pos) > 0){
        zi <- replace(z, NA.pos, NaN)
    }
    Ci <- cov(zi, use="pair")
    E.lambda[[i]] <- eigen(Ci)$values
	S.lambda[[i]] <- svd(Ci)$d
}


x11(width=10, height=5)
par(mfcol=c(1,2))
YLIM <- range(c(sapply(E.lambda, range), sapply(S.lambda, range)))

#eigen
for(i in seq(E.lambda)){
    if(i == 1) plot(E.lambda[[i]], t="n", ylim=YLIM, ylab="lambda", xlab="", main="Eigen Decomposition")
    lines(E.lambda[[i]], col=i, lty=1)
}
abline(h=0, col=8, lty=2)
legend("topright", legend=frac, lty=1, col=1:length(frac), title="fraction gaps")

    #svd
for(i in seq(S.lambda)){
    if(i == 1) plot(S.lambda[[i]], t="n", ylim=YLIM, ylab="lambda", xlab="", main="Singular Value Decomposition")
    lines(S.lambda[[i]], col=i, lty=1)
}
abline(h=0, col=8, lty=2)
legend("topright", legend=frac, lty=1, col=1:length(frac), title="fraction gaps")

고유 값의 절대 값, 즉 sum (abs (Eg $ values))의 합을 수행하여 특이 값의 합과 비교해야합니다. 그들은 같을 것입니다.

그 이유는 음의 고유 값에 해당하는 행이나 열에 을 곱하면 새 행렬의 고유 값이 양수가되고 고유 벡터의 직교성이 방해받지 않기 때문입니다.$-1$

이 아름다운 정리의 반대 증거는 Javier F. Cabrera, Linear Algebra 및 그 응용 프로그램, Princeton University (현재 Rutgers)의 초볼 로이드 혁명 대수에 나타났습니다.

sqrt (eigen (t (Cg) % * % Cg))가 Cg의 특이 값과 같다는 사실에 의해 다른 이유가 있습니다. 그러나 고유 값이 음수 인 경우, 데이터는 복소 평면을 고려한 은자 형태로 표현되어야합니다. 즉, 원래 공식에서는 누락 된 것입니다. 값은 복잡한 항목을 갖습니다.