순간 생성 함수 증명으로 확률 분포를 고유하게 결정

Wackerly 등의 텍스트 는 이 정리 " 와 는 각각 랜덤 변수 X와 Y의 모멘트 생성 함수를 나타냅니다. 모멘트 생성 함수가 존재하고 "t의 모든 값에 대해 X와 Y는 동일한 확률 분포를 갖습니다." 텍스트의 범위를 넘어서는 증거가 없습니다. Scheaffer Young은 증거가없는 동일한 정리 를 가지고 있습니다. Casella의 사본이 없지만 Google 도서 검색에서 정리를 찾지 못했습니다. $m_x(t)$ $m_y(t)$ $m_x(t) = m_y(t)$

Gut의 텍스트 는 증명 의 개요 를 가지고있는 것처럼 보이지만 "잘 알려진 결과"를 참조하지 않으며 증명이 제공되지 않은 다른 결과 를 알아야합니다 .

누구든지 이것을 처음 증명 한 사람과 그 증거가 온라인 어디에서나 이용 가능한지 아는 사람이 있습니까? 그렇지 않으면이 증명의 세부 사항을 어떻게 채우겠습니까?

질문이 없으면 숙제 질문이 아니지만 이것이 누군가의 숙제라고 상상할 수 있습니다. 나는 바 커리 (Wackerly) 텍스트를 기반으로 한 과정 순서를 취했으며이 증거에 대해 오랫동안 궁금해했습니다. 그래서 물어볼 시간이라고 생각했습니다.

— 크리스 시모 캇
소스

관련 : (i) mgfs의 역전 및 (ii) 모멘트 생성 기능 및 분산의 존재

— 추기경

Billingsley의 Probability and Measure 텍스트에 액세스 할 수있는 경우 "모멘트 방법"섹션에서 설명합니다. (현재 모호한 점이 애매 모호한 점에 대한 사과입니다.) 올바르게 기억한다면, 그가 사용하는 증거는 특성 함수에 대한 해당 결과에 의존하지만, 완전히 만족 스럽지는 않을 수 있습니다. 이것은 확실히 Wackerly의 텍스트 배경의 범위를 벗어난 것입니다.

— 추기경

와우 @ 추기경 그 질문에 대한 귀하의 답변은 우수하고 매우 도움이되었습니다. 감사합니다.

— Chris Simokat

@cardinal 나는 당신의 메모를보기 전에 Billigsley에 접속했고, 그 증거에 대한 설명을 이전 답변에 추가했습니다.

— Michael R. Chernick

역사 ( "원래 이것을 증명 한 사람")와 관련하여 Laplace는 1785 년에 이런 종류의 작업에 특징적인 기능을 사용하고 1810 년까지 일반적인 반전 공식 (증거의 열쇠)을 개발 한 것으로 보입니다. Anders Hald 참조 , 1750 년에서 1930 년까지의 수학 통계의 역사 , 17 장.

— whuber

답변:

이에 대한 일반적인 증거는 Feller (확률 이론 및 응용에 대한 소개, 2 권)에서 확인할 수 있습니다. Laplace 변환 이론과 관련된 반전 문제입니다. mgf가 Laplace 변환과 눈에 띄는 유사 함을 알고 있습니까? 라플라스 변환을 사용하려면 Widder (Calcus Vol I)를 볼 수 있습니다 .

특별한 경우에 대한 증거 :

X와 Y가 모두 { } 에서 가능한 값만 취하는 랜덤 변수라고 가정합니다 . 또한 X와 Y가 모든 t에 대해 동일한 mgf를 가진다고 가정하자 : 간단히하기 위해 하고 대해 를 합니다. $0, 1, 2,\dots, n$

\sum_{x = 0}^{n} e^{t x} f_{X} (x) = \sum_{y = 0}^{n} e^{t y} f_{Y} (y)

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$

s = e^{t}

$s = e^t$

c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$

i = 0, 1, \dots, n

$i = 0, 1,\dots,n$

이제 위의 계수 과 같이 다항식입니다 . 경우가 S의 모든 값에 대해 제로 일 수있는 유일한 방법은 낭포, 우리가 그 에 대한 .

\sum_{엑스 = 0}^{엔} {이자형}^{티 엑스} {에프}_{엑스} (엑스) - \sum_{와이 = 0}^{엔} {이자형}^{티 와이} {에프}_{와이} (와이) = 0

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$

\Rightarrow \sum_{엑스 = 0}^{엔} {에스}^{엑스} {에프}_{엑스} (엑스) - \sum_{와이 = 0}^{엔} {에스}^{와이} {에프}_{와이} (와이) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$

\Rightarrow \sum_{엑스 = 0}^{엔} {에스}^{엑스} {에프}_{엑스} (엑스) - \sum_{엑스 = 0}^{엔} {에스}^{엑스} {에프}_{와이} (엑스) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$

\Rightarrow \sum_{엑스 = 0}^{엔} {에스}^{엑스} [{에프}_{엑스} (엑스) - {에프}_{와이} (엑스)] = 0

$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$

\Rightarrow \sum_{엑스 = 0}^{엔} {에스}^{엑스} 씨_{엑스} = 0 \forall 에스 > 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$

c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n}

$c_0, c_1,\dots,c_n$

c_{0} = c_{1} = \dots = c_{n} = 0

$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$

0 = c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$

i = 0, 1, \dots, n

$i=0, 1,\dots,n$

따라서 대해 입니다 . $f_X(i)=f_Y(i)$ $i=0,1,\dots,n$

다시 말해 와 의 밀도 함수 는 정확히 같습니다. 다시 말해, 와 는 같은 분포를가집니다. $X$ $Y$ $X$ $Y$

— 아르가
소스

주로 모멘트 생성 함수는 분포를 고유하게 결정합니다.

— Argha

당신이 논의하고있는 정리는 확률 / 측정 이론의 기본 결과입니다. 증거는 확률 또는 통계 이론에 관한 책에서 더 많이 찾을 수 있습니다. Hoel Port 및 Stone pp 205-208에 제공된 특성 기능에 대한 유사한 결과를 찾았습니다.

터커 pp 51-53

과 정의 PP 151-155 이것은 제 3 판입니다. 나는 두 번째 판을 가지고 있으며 1974 년에 출판 된 두 번째 판의 페이지 번호를 언급하고 있습니다.

내가 찾은 mgf에 대한 증거는 찾기가 더 어려웠지만 Billingley의 책 "확률 및 측정"pp. 342-345에서 찾을 수 있습니다. 342 페이지에서 정리 30.1은 모멘트 문제에 대한 정리를 제공합니다. 345 페이지에서 Billingsley는 확률 측정치에 0을 둘러싼 간격에 정의 된 모멘트 생성 함수 M (s)이있는 경우 정리 30.1에 대한 가설이 충족되므로 측정치가 모멘트에 의해 결정된다는 결과가 나와 있습니다. 그러나이 순간은 M에 의해 결정됩니다. 따라서 측정 값은 M (s)이 0 부근에 존재하는 경우 순간 생성 함수에 의해 결정됩니다. Billingsley는 또한 운동 26에 대한 해결책이라고 말합니다.

— 마이클 R. 체 르닉
소스

정 어 this 어? 우연히, 161-165 페이지를 의미 했습니까? 그럼에도 불구하고, 그것은 OP에 의해 요구되는 순간 생성 기능이 아닌 특징적인 기능 을 다룬다 .

— 추기경

@ 추기경 예 알아요. 나는 지금까지 찾은 것이기 때문에 특성 함수에 대한 결과를 언급했습니다. 내가 말했듯이 정의 페이지 번호는 내가 가지고있는 두 번째 판을 기반으로합니다. 나는 세 번째 판에서 어디에 나타나는지 모른다. 나는 mgfs에 대한 결과를 가져올 소스가 있어야한다고 생각합니다.

— Michael R. Chernick

나는 당신의 대답도 감사하기 때문에 시간을 내 주셔서 감사합니다.

— Chris Simokat

나타낸다 의 모멘트 생성 함수 $X$ 하여 . $M_X(t)=Ee^{tX}$

유일성 정리. 존재한다면 이되도록 모든 다음 모두 . $\delta>0$ $M_X(t) = M_Y(t) < \infty$ $t \in (-\delta,\delta)$ $F_X(t) = F_Y(t)$ $t \in \mathbb{R}$

모멘트 생성 함수가 분포를 결정한다는 것을 증명하기 위해 적어도 두 가지 접근 방식이 있습니다.

의 유한성 표시하려면 에 순간의 있음을 의미한다 그래서, 너무 빨리 증가하지 않는 에 의해 결정된다 , 어떤 차례로 의해 결정됩니다 . 이 증명은 Billingsley, P. Probability and Measure 의 Section 30에서 찾을 수 있습니다 . $M_X$ $(-\delta,\delta)$ $X$ $F_X$ $(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$ $M_X$
것을 보여 분석되고 확장 될 수있는 , 그래서 그래서에서, 모든 대해 특정 를 입력 한 다음 결정 한다는 사실을 사용하십시오 . 이 방법은 Curtiss, JH Ann을 참조하십시오 . 수학. 통계 13 : 430-433 및 그 참조. $M_X$ $(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ $M_X(z)=Ee^{zX}$ $M_X(it)=\varphi_X(t)$ $t\in\mathbb{R}$ $\varphi_X$ $F_X$

학부 수준에서 거의 모든 교과서는 순간 생성 기능으로 작동하며 위의 정리를 증명하지 않고 진술합니다. 증거는 학부 수준에서 허용하는 것보다 훨씬 더 고급 수학이 필요하기 때문에 의미가 있습니다.

학생들이 증명에 필요한 모든 도구를 가지고있는 시점에서 특성 함수 로 작업 할 수있는 성숙도 있습니다. 거의 모든 대학원 교과서 에서이 경로를 취하면 특성 함수가 분포를 결정하고 기본적으로 모멘트 생성 기능을 모두 무시한다는 것을 증명합니다. $\varphi_X(t)=Ee^{itX}$

— 사용자
소스

오늘날 mgfs는 특징적인 기능보다 수치 적으로 훨씬 유용하기 때문에 무시해서는 안됩니다

— kjetil b halvorsen

과연! 그러나 나는 수치 적 방법을 강조하는 교과서를 본 적이 없지만 고유성 정리의 증거를 제공하기에 충분한 수학을 가지고 있습니다.

— user334639