또 다른 해결 방법은 적분을 직접 계산하는 것입니다.
증가하는 부분의 길이가 인 시퀀스를 생성 할 확률 은 . 여기서 .≥nfn(0)fn(x)=∫1x∫1x1∫1x2...∫1xn−2∫1xn−1dxndxn−1...dx2dx1
우리가해야 할 일은 을 계산하는 것입니다 .fn(0)
처음 여러 를 계산하려고하면 아마도fn(x)fn(x)=∑nt=0(−x)tt!(n−t)!
기본 사례 : 일 때n=1f1(x)=∑1t=0(−x)tt!(n−t)!=1−x=∫1xdx1
귀납적 가설 : 일 때n=kfn(x)=∑kt=0(−x)tt!(k−t)! , for k≥1
유도 단계 : 일 때n=k+1
fn(x)=fk+1(x)=∫1xfk(x∗)dx∗
=∫1x∑kt=0(−x∗)tt!(k−t)!dx∗
=∑kt=0−(−x∗)t+1t!(k−t)!×(t+1)∣∣∣1x=∑kt=0−(−x∗)t+1(t+1)!(k−t)!∣∣∣1x
=∑k+1t=1−(−x∗)tt!(k−t+1)!∣∣∣1x
=∑k+1t=1(−1)t+1t!(k−t+1)!+∑k+1t=1(−x)tt!(k−t+1)!
=∑k+1t=1(−1)t+1Ck+1t(k+1)!+∑k+1t=1(−x)tt!(k−t+1)!
=1(k+1)!+∑k+1t=0(−1)t+1Ck+1t(k+1)!+∑k+1t=1(−x)tt!(k−t+1)!
=1(k+1)!−(1−1)k+1(k+1)!+∑k+1t=1(−x)tt!(k−t+1)!
=∑k+1t=0(−x)tt!(k−t+1)!
수학적 유도에 의해 가정이 유지됩니다.
따라서 우리는fn(0)=1n!
따라서E(length)=∑∞n=1Pr(length≥n)=∑∞n=11n!=e−1