주어진 가능성은 무엇입니까 ?

가정 $X$ 및 $Y$ 평균 정상 변량이다 $\mu=(\mu_1,\mu_2)$ 및 공분산 $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \\ \end{bmatrix}$ . \ Pr \ left (X <Y | \ min \ left (X, Y \ right) \ right) 확률은 $\Pr\left(X<Y|\min\left(X,Y\right)\right)$얼마입니까?

약간 더 명확한 표기법 (여기서 은 임의의 변수가 아니라 실수 임) 내용물 그 위에 두 반 개방 세그먼트와 L 자형 경로 하나 똑바로 점에서 거 이 동일한 지점에서 오른쪽으로 직진 다른. 세로 레그 및 가로 레그 는 분명합니다 .m 분 ( X , Y ) = m ( m , m ) x < y x > $P(X<Y|\min(X, Y)=m)$$m$$\min(X,Y) = m$$(m,m)$$x<y$$x>y$

이러한 기하학적 직관이 주어지면, 분자에서 우리는 수직 다리 만 있고 , 분모에는 두 다리의 합이 있는 등가의 형태로 문제를 쉽게 다시 작성할 수 있습니다 .$x<y$

$P(X<Y|\min(X, Y)) = \frac{ \displaystyle P(m<Y|X=m) }{ \displaystyle P(m<Y|X=m) + P(m<X|Y=m) } \tag{1}$

이제 형식의 두 표현식을 계산해야합니다 . 이변 량 정규 분포의 조건부 확률은 모수와 함께 정규 분포 를 .N ( μ X | Y = m , $P(m<X|Y=m)$$\mathcal{N}\left(\mu_{X|Y=m}, s^2_{X|Y=m}\right)$

$\mu_{X|Y=m} = \mu_1+\frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle \sigma_{22}}({m}-\mu_2) \tag{2}$

$s^2_{X|Y=m} = \sigma_{11}-\frac{\displaystyle \sigma_{12}^2}{\displaystyle \sigma_{22}} \tag{3}$

원래 문제 정의에서 는 표준 편차에 를 사용하는보다 일반적인 규칙과 달리 공분산 행렬의 요소를 나타 냅니다. 다음은, 우리가 사용하는 것이 더 편리 찾을 수 분산과 대한 조건부 확률 분포의 표준 편차. σ s 2$\sigma_{ij}$$\sigma$$s^2$$s$

이 두 모수를 알면 누적 분포 함수에서 보다 확률을 계산할 수 있습니다 .$m<X$

$P(m<X|Y=m) = \Phi \left(\frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} -m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \right) \tag{4}$

mutatis mutandis , 우리는 와 비슷한 표현을 가지고 있습니다 . 허락하다$P(Y>m|X=m)$

$z_{X|Y=m} = \frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} - m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \tag{5}$

과

$z_{Y|X=m} = \frac{\displaystyle \mu_{Y;X=m} -m}{\displaystyle s_{Y;X=m}} \tag{6}$

그런 다음이 두 점수 측면에서 완벽한 솔루션을 간단하게 작성할 수 있습니다 .$z$

$P(X<Y|\min(X, Y)=m) = 1 - \frac{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m}) }{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m})+\Phi(z_{Y|X=m}) } \tag{7}$

질문 작성자가 제공 한 시뮬레이션 코드를 바탕으로이 이론적 결과를 시뮬레이션 결과와 비교할 수 있습니다.

Bayes 정리의 수정 된 버전을 사용하여 질문을 다시 작성할 수 있습니다 ( 에 대한 개념 남용 ).$Pr$

$$\begin{align} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) &= \frac{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)}{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)+Pr(min(X,Y)=m|X\geq Y)Pr(X\geq Y)}\\ &= \frac{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)}{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)+Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m)}. \end{align}$$

를 및 의 이변 량 PDF로 정의하십시오 . 및 . 그때$f_{X,Y}$$X$$Y$$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}x^2)$$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x\phi(t)dt$

$$\begin{align} Pr(X<Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X=m,Y>m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(m,t)dt \end{align}$$

과

$$\begin{align} Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X\geq m,Y=m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(t,m)dt \end{align}$$

정규성과 조건부 확률의 정의를 사용하여 정수를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

$$f_{X,Y}(m,t) = f_{Y|X}(t)f_X(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)$$

과

$$f_{X,Y}(t,m) = f_{X|Y}(t)f_Y(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right).$$

여기서

$$\mu_{X|Y} = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(m-\mu_2),$$

$$\mu_{Y|X} = \mu_2 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}(m-\mu_1),$$

$$\sigma_{X|Y} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{11}$$

과

$$\sigma_{Y|X} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{22}.$$

그러므로

$$\begin{equation} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) = \frac{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)}{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right)}. \end{equation}$$

이 최종 형식은 @olooney가 도착한 결과와 매우 유사합니다. 차이점은 그의 확률은 정규 밀도에 의해 가중되지 않습니다.

수치 검증을위한 R 스크립트는 여기 에서 찾을 수 있습니다