iid Gaussians의 최대 값에 대한 가장 강력한 결과는 무엇입니까? 실제로 가장 많이 사용됩니까?

iid가 주어지면 임의의 변수를 고려하십시오. $X_1, \ldots, X_n, \ldots \sim \mathscr{N}(0,1)$

Z_{n} := max_{1 \leq i \leq n} X_{i} .

$Z_n := \max_{1 \le i \le n} X_i\,.$

질문 : 이 랜덤 변수에 대한 가장 "중요한"결과는 무엇입니까?

"중요도"를 명확하게하기 위해 어떤 결과가 논리적 결과와 같은 다른 결과를 가져 오는가? 실제로 가장 많이 사용되는 결과는 무엇입니까?

보다 구체적으로, (이론적) 통계 학자들 사이에서 $Z_n$ 은 으로 "기본적으로 같은" $\sqrt{2 \log n}$ 과 같은 민속 지식인 것 같습니다 . ( 이 관련 질문을 참조하십시오 .)

그러나 이러한 유형의 관련 결과가 많이 있으며, 대부분 동일하지 않거나 서로를 암시하지 않는 경우가 있습니다. 예를 들어 $^*$ ,

\begin{matrix} (1) & \frac{Z_{n}}{\sqrt{2 \log n}} \overset{a . s .}{\to} 1, \end{matrix}

$\frac{Z_n}{\sqrt{2 \log n}} \overset{a.s.}{\to} 1 \,, \tag{1}$

다른 것도 없다면 확률과 분포의 해당 결과를 의미합니다.

그러나 그것은 또한 겉보기에 관련된 결과를 암시하지도 않습니다 ( 이 다른 질문 참조 ).

\begin{matrix} (2) & lim_{n \to \infty} \frac{E Z_{n}}{\sqrt{2 \log n}} = 1, \end{matrix}

$\lim_{n \to \infty} \frac{\mathbb{E}Z_n}{\sqrt{2 \log n}} =1 \,, \tag{2}$

( 49 페이지의 연습 2.17 ) 또는 다른 민속적 결과 : $\dagger$

\begin{matrix} (3) & E Z_{n} = \sqrt{2 \log n} + Θ (1) . \end{matrix}

$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + \Theta(1) \,. \tag{3}$

무증상으로, 각 에 대해 ( 증거에 대해서는 여기 참조 ), $n$

\begin{matrix} (4) & \sqrt{c \log n} \leq E Z_{n} \leq \sqrt{2 \log n} \end{matrix}

$\sqrt{c \log n} \le \mathbb{E}Z_n \le \sqrt{2 \log n} \tag{4}$

약간의 작은 . 대해서도 유사한 결과가 표시 될 수 있습니다 은 크게 오른쪽으로 치우쳐 있기 입니다. $c$ $|Z_n|$ $Z_n$

이 마지막 결과의 증거는 다른 결과의 증거보다 훨씬 간단합니다. 첫 번째 점근 적 결과가 다른 모든 점근 적 결과를 암시하여 그 결과를 이해하는 데 모든 시간과 에너지에 집중할 수 있다고 확신했습니다. 그러나 다시 말하지만, 그것은 사실이 아니기 때문에, 내가 집중해야 할 것이 분명하지 않습니다.

$^*$ 1987 년에 발간 된 2 차 개정판 인 Galambos의 265-267 쪽, 극단 주문 통계에 대한 점근 론 이론 . pp .

$\dagger$ Boucheron, Lugosi, Massart, 농도 불평등 : 비대칭 독립 이론 . 따로 : 이 책은 실제로 해당 결과에 대해 Galambos를 인용하지만 Galambos의 어느 곳에서도 언급 할 수는 없습니다. 제가 언급 한 첫 번째 결과 만 있습니다.

— Chill2Macht
소스

MathJax에서 \ dots를 사용할 때 결과는 때때로 문맥에 따라 \ ldots를 사용한 것처럼 보이고 때로는 \ cdots를 사용한 것처럼 나타납니다. 이 질문에서 \ dots를 \ ldots로 바꿨습니다.

\begin{aligned} X_1, \dots, X_n, \dots \sim \mathscr{N}(0,1) & X_{1}, \dots, X_{n}, \dots \sim N (0, 1) \\ X_1, \ldots, X_n, \ldots \sim \mathscr{N}(0,1) & X_{1}, \dots, X_{n}, \dots \sim N (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} & \text{X_1, \dots, X_n, \dots \sim \mathscr{N}(0,1)} & & X_1, \dots, X_n, \dots \sim \mathscr{N}(0,1) \\ \\ & \text{X_1, \ldots, X_n, \ldots \sim \mathscr{N}(0,1)} & & X_1, \ldots, X_n, \ldots \sim \mathscr{N}(0,1) \end{align}$

— Michael Hardy

@MichaelHardy 오 항상 그것이 중심에 있다고 생각했습니다. 수정 해 주셔서 감사합니다!

— Chill2Macht

모든 확률 적 응용에서 가장 기본적인 목표는 분포이며, 여기서 모멘트와 제한 특성이 도출 될 수 있습니다. 따라서, 가장 의미있는 "중요한"결과는 전체 분포 함수 (해당하는 해당 밀도 함수)입니다. 실제로이 분포 결과는 이미 나열한보다 기본적인 점근 적 특성보다 조명이 적을 수 있습니다. 논리적으로 이러한 점근 적 결과를 암시하지만, 우리가 을 변경함에 따라 극단적 인 가치의 변화하는 본질을 이해하는 데 그 결과가 더 밝아 질 것 입니다. $F_{Z_n}(z) = \Phi^n(z)$ $n$

최대 IID 표준 정규 랜덤 변수의 경우 극단적 인 값 속성을 잘 이해하고 있다는 것이 귀하의 질문에서 분명합니다. 이러한 속성은 모두 의 분포 함수에서 논리적으로 도출 할 수 문제에서 가장 기본적인 객체입니다. 많은 경우와 마찬가지로 가장 기본적인 목적은 반드시 가장 밝게 나타나는 것은 아니므로 모든 결과를 알고 문제의 다른 측면을 밝히는 것과 관련이 있다는 것을 알게 될 것입니다. $Z_n$

— 벤-복원 모니카
소스

이 답변에 감사드립니다-감사합니다. 대한 분포 함수에서 이러한 모든 속성을 파생시키는 방법에 대한 참조를 알고 있습니까? 나는 이것이 "민속"또는 "손 잡기"이기 때문에 이것을 설명하는 것을 찾는 데 극도로 어려움을 겪고 있습니다.

Z_{n}

$Z_n$

— Chill2Macht

기록을 위해 링크를 읽었으며 도움이되지 않습니다. 그래서 제가 질문을했습니다.

— Chill2Macht

추천 할 구체적인 참고 자료는 없지만 이러한 결과는 극단적 인 가치 이론에 관한 책에서 도출 될 것이라고 생각합니다. 해당 주제에 대한 대학원 수준의 텍스트를 찾아서 파생물을 찾을 수 있는지 확인하는 것이 좋습니다.

— 벤-복원 모니카

WIP : 진행중인 작업

팔로 잉 p. 래머 1946 370 통계 수학적 방법을 정의여기서 는 표준 정규 분포 의 누적 분포 함수입니다 . 그 정의의 결과로 우리는 거의 확실하게 보장합니다 .

Ξ_{n} = n (1 - Φ (Z_{n})) .

$\Xi_n = n(1 - \Phi(Z_n)) \,.$

Φ

$\Phi$

N (0, 1)

$\mathscr{N}(0,1)$

0 \leq Ξ_{n} \leq n

$0\le \Xi_n \le n$

주어진 실현을 고려 우리의 샘플 공간을. 그런 의미에서 은 및 의 함수 이고 은 및 의 함수입니다 . 고정 된 경우 은 의 결정 함수 이고 은 및 의 결정 함수로 하여 문제를 단순화 할 수 있습니다. 거의 모든 대한 결과를 보여 주려고합니다. $\omega \in \Omega$ $Z_n$ $n$ $\omega$ $\Xi_n$ $Z_n, n$ $\omega$ $\omega$ $Z_n$ $n$ $\Xi_n$ $Z_n$ $n$ $\omega \in \Omega$ 결과를 비 결정적 분석에서 비 결정적 설정으로 전송할 수 있습니다.

팔로 잉 p. 크레이머의 1946 년 374 통계의 수학적 방법, 우리는 (어떤 주어진에 대한 것을 보여줄 수 있다는 (내가 다시 와서 나중에 증거를 제공하는 것을 목표로) 순간 가정 다음 점근 확장 보유 (사용) 부품 별 통합 및 정의 ) : $\omega \in \Omega$ $\Phi$

\begin{matrix} (~) & \frac{\sqrt{2 π}}{n} Ξ_{n} = \frac{1}{Z_{n}} e^{- \frac{Z_{n}^{2}}{2}} (1 + O (\frac{1}{Z_{n}^{2}})) a s Z_{n} \to \infty . \end{matrix}

$\frac{\sqrt{2\pi}}{n}\Xi_n = \frac{1}{Z_n}e^{-\frac{Z_n^2}{2}}\left( 1 + O \left( \frac{1}{Z_n^2} \right) \right) \quad ~~ as ~~ Z_n \to \infty \,. \tag{~}$

분명히 우리가 그 어떤을위한 , 및 거의 확실하게 증가 함수이다 로 , 따라서 우리는 고정 된 (거의 확실히 모든) 동안 그 전반에 걸쳐 다음과 무슨에서 주장 : $Z_{n+1} \ge Z_n$ $n$ $Z_n$ $n$ $n\to \infty$ $\omega$

Z_{n} \to \infty ⟺ n \to \infty .

$Z_n \to \infty \quad \iff \quad n \to \infty \,.$

따라서 우리는 ( 은 점근 적 동등성을 나타냄 ) 다음 과 같습니다 . $\sim$

\frac{\sqrt{2 π}}{n} Ξ_{n} \sim \frac{1}{Z_{n}} e^{- \frac{1}{Z_{n}^{2}}} a s Z_{n} \to \infty n \to \infty .

$\frac{\sqrt{2\pi}}{n} \Xi_n \sim \frac{1}{Z_n} e^{-\frac{1}{Z_n^2}} \quad ~~ as ~~ Z_n \to \infty \quad n \to \infty \,.$

우리가 따르는 것을 어떻게 진행 하는가는 본질적으로 지배적 균형 의 방법에 해당 하며, 우리의 조작은 다음과 같은 정리로 공식적으로 정당화됩니다.

보조 정리 : 있다고 가정 와 같은 및 (따라서 ). 그런 다음 대수 및 거듭 제곱 법칙의 구성, 덧셈 및 곱셈 (본질적으로 " 다항식 "함수)을 통해 형성되는 함수 가 주어지면 : 이어야합니다 .다시 말해, 이러한 "폴리 로그"기능 은 점근 적 동등성을 유지합니다 . $f(n) \sim g(n)$ $n \to \infty$ $f(n) \to \infty$ $g(n) \to \infty$ $h$ $n \to \infty$
$h (f (n)) \sim h (g (n)) .$ $h(f(n)) \sim h(g(n)) \,.$

이 정리의 진실은 정리 2.1 의 결과이다 . 여기에 쓰여진대로 . 또한 다음 내용은 여기에있는 유사한 질문 에 대한 답변 의 확장 된 (자세한 내용) 버전입니다 .

양쪽의 로그를 취하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

\begin{matrix} (1) & \log (\sqrt{2 π} Ξ_{n}) - \log n \sim - \log Z_{n} - \frac{Z_{n}^{2}}{2} . \end{matrix}

$\log ( \sqrt{2\pi} \Xi_n ) - \log n \sim -\log Z_n - \frac{Z_n^2}{2} \,. \tag{1}$

이것은 Cramer가 다소 엉성한 곳입니다. 그는 단지 " 이 묶여 있다고 가정한다"고 말합니다 . 그러나 이 적절하게 묶여 있음을 보여주는 것은 실제로 다소 사소한 것 같습니다. 이것에 대한 증거는 본질적으로 Galambos의 265-267 페이지에서 논의 된 내용의 일부인 것 같지만, 나는 여전히 그 책의 내용을 이해하려고 노력하고 있다는 것을 확신하지 못한다. $\Xi_n$ $\Xi_n$

어쨌든 이라고 표시 할 수 있다고 가정 $\log \Xi_n = o(\log n)$ 하면 항이 항을 지배하기 때문에 다음과 같습니다 . $-Z_n^2/2$ $-\log Z_n$

- \log n \sim - \frac{Z_{n}^{2}}{2} ⟹ Z_{n} \sim \sqrt{2 \log n} .

$- \log n \sim - \frac{Z_n^2}{2} \quad \implies \quad Z_n \sim \sqrt{2 \log n} \,.$

이것은 이미 우리가 보여주고 싶은 것의 대부분이기 때문에 다소 좋습니다. 다시 말해서 캔을 걷어차는 것만으로도 주목할 가치가 있습니다. 이제 우리는 거의 확실하게 . 반면, 은 최대 iid 연속 난수 변수에 대해 동일한 분포를 가지므로 다루기 어려울 수 있습니다. $\Xi_n$ $\Xi_n$

어쨌든, 만약 그대로라면, 어떤 에 대해서도 이라고 결론을 내릴 수 있습니다 이는 로 입니다. 위의 점근 적 동등성을 유지하는 폴리 로그 함수에 대한 정리를 사용하여이 표현식을 로 다시 대체하여 다음 을 얻을 수 있습니다. $Z_n \sim \sqrt{2 \log n}$ $Z_n \sim \sqrt{2 \log n}(1 + \alpha(n))$ $\alpha(n)$ $o(1)$ $n \to \infty$ $(1)$

\log (\sqrt{2 π} Ξ_{n}) - \log n \sim - \log (1 + α) - \frac{1}{2} \log 2 - \frac{1}{2} \log \log n - \log n - 2 α \log n - α^{2} \log n .

$\log(\sqrt{2 \pi} \Xi _n)- \log n \sim -\log (1 + \alpha) - \frac{1}{2}\log 2 - \frac{1}{2}\log \log n - \log n - 2 \alpha \log n - \alpha^2 \log n \,.$

⟹ - \log (Ξ_{n} \sqrt{2 π}) \sim \log (1 + α) + \frac{1}{2} \log 2 + \frac{1}{2} \log \log n + 2 α \log n + α^{2} \log n .

$\implies -\log(\Xi_n \sqrt{2 \pi}) \sim \log(1 + \alpha) + \frac{1}{2} \log 2 + \frac{1}{2} \log \log n + 2\alpha \log n + \alpha^2 \log n \,.$

여기에서 우리는 더욱 가서해야 한다고 가정 거의 확실 $\log \Xi_n = o( \log \log n) ~~ as ~~ n \to \infty$ . 다시 말하지만 모든 Cramer는 " 이 제한되어 있다고 가정합니다"라고 말합니다 . 그러나 모든 사람이 말할 수 있기 때문에 사전에 대한 것입니다 으로, 거의 사람이 있어야한다고 분명히 보인다 크레이머의 주장의 실체 것으로 보인다 거의 확실. $\Xi_n$ $\Xi_n$ $0 \le Xi_n \le n$ $\Xi_n = O(1)$

그러나 어쨌든, 그것을 믿는다 고 가정하면, 포함하지 않는 지배적 인 용어 는 입니다. 이후 , 팔로우 그 , 명확 이므로 포함하는 지배적 인 용어 는 입니다. 따라서 우리는 ( 또는 으로 모든 것을 나누면 ) $\alpha$ $\frac{1}{2} \log \log n$ $\alpha = o(1)$ $\alpha^2 = o(\alpha)$ $\log ( 1 + \alpha) = o (\alpha) = o(o(\alpha \log n))$ $\alpha$ $2 \alpha \log n$ $\frac{1}{2}\log\log n$ $2 \alpha \log n$

- \frac{1}{2} \log \log n \sim 2 α \log n ⟹ α \sim - \frac{\log \log n}{4 \log n} .

$- \frac{1}{2} \log \log n \sim 2 \alpha \log n \quad \implies \quad \alpha \sim - \frac{\log \log n}{4 \log n} \,.$

따라서 이것을 다시 위의 것으로 바꾸면 다음과 같이됩니다.

Z_{n} \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}},

$Z_n \sim \sqrt{2 \log n}- \frac{\log\log n}{2 \sqrt{2 \log n}} \,,$

에 대해 특정 사항을 믿는다 고 가정 합니다. $\Xi_n$

동일한 기술을 다시 해시합니다. 이후 , 그것은 또한 다음 $Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}}$

Z_{n} \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} (1 + β (n)) = \sqrt{2 \log n} (1 - \frac{\log \log n}{8 \log n} (1 + β (n))),

$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} (1 + \beta(n)) = \sqrt{2 \log n} \left( 1 - \frac{\log \log n}{8 \log n}(1 + \beta(n)) \right) \,,$

경우 . (1)로 직접 대체하기 전에 약간 단순화하자. 우리는 그것을 얻는다 : $\beta(n)=o(1)$

\log Z_{n} \sim \log (\sqrt{2 \log n}) + \underset{\log (O (1)) = o (\log n)}{\underset{⏟}{\log (1 - \frac{\log \log n}{8 \log n} (1 + β (n)))}} \sim \log (\sqrt{2 \log n}) .

$\log Z_n \sim \log(\sqrt{2 \log n}) + \underbrace{\log \left(1 - \frac{\log \log n}{8 \log n}(1 + \beta(n)) \right) }_{\log(O(1)) = o(\log n)} \sim \log (\sqrt{2 \log n}) \,.$

\frac{Z_{n}^{2}}{2} \sim \log n - \frac{1}{2} \log \log n (1 + β) + \underset{o ((1 + β) \log \log n)}{\underset{⏟}{\frac{(\log \log n)^{2}}{8 \log n} (1 β)^{2}}} \sim \log n - \frac{1}{2} (1 + β) \log \log n .

$\frac{Z_n^2}{2} \sim \log n - \frac{1}{2} \log \log n (1 + \beta) + \underbrace{\frac{(\log \log n)^2}{8 \log n} ( 1 \beta)^2}_{o((1+ \beta) \log \log n)} \sim \log n - \frac{1}{2} (1 + \beta) \log \log n \,.$

이것을 다시 (1)로 바꾸면 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

\log (\sqrt{2 π} Ξ_{n}) - \log n \sim - \log (\sqrt{2 \log n}) - \log n + \frac{1}{2} (1 + β) \log \log n ⟹ β \sim \frac{\log (4 π Ξ_{n}^{2})}{\log \log n} .

$\log ( \sqrt{2 \pi} \Xi_n) - \log n \sim - \log(\sqrt{2 \log n}) - \log n + \frac{1}{2}(1 + \beta) \log \log n \quad \implies \quad \beta \sim \frac{\log (4 \pi \Xi_n^2)}{\log \log n} \,.$

따라서 우리는 거의 확실하게 결론을 내립니다.

Z_{n} \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} (1 + \frac{\log (4 π) + 2 \log (Ξ_{n})}{\log \log n}) = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 π)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (Ξ_{n})}{\sqrt{2 \log n}} .

$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} \left(1 + \frac{\log(4 \pi) + 2 \log( \Xi_n)}{\log \log n} \right)\\ = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{ 2 \sqrt{2 \log n} } - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} \,.$

이것은 Cramer 's 1946 수학 통계 방법론 p.374의 최종 결과에 해당합니다. 단, 여기서 오류 항의 정확한 순서는 제공되지 않습니다. 이 용어를 한 번 더 적용하면 오차항의 정확한 순서를 알 수 있지만 어쨌든 우리가 관심을 갖는 iid 표준 법선의 최대 값에 대한 결과를 증명할 필요는 없습니다.

위의 결과를 감안할 때, 거의 확실하게 :

\begin{matrix} (†) & Z_{n} \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 π)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (Ξ_{n})}{\sqrt{2 \log n}} ⟹ Z_{n} = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 π)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (Ξ_{n})}{\sqrt{2 \log n}} + o (1) . \end{matrix}

$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} \quad \implies \\ Z_n = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} + o(1)\,. \tag{$\dagger$}$

2. 그런 다음 기대의 선형성에 따라 다음과 같습니다.

E Z_{n} = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 π)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{E [\log (Ξ_{n})]}{\sqrt{2 \log n}} + o (1) ⟹ \frac{E Z_{n}}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{E [\log Ξ_{n}]}{2 \log n} + o (1) .

$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\mathbb{E}[\log (\Xi_n)]}{\sqrt{2 \log n}} + o(1) \quad \implies \\ \frac{\mathbb{E}Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{\mathbb{E}[\log \Xi_n]}{2 \log n} + o(1) \,.$

그러므로 우리는

lim_{n \to \infty} \frac{E Z_{n}}{\sqrt{2 \log n}} = 1,

$\lim_{n \to \infty } \frac{\mathbb{E} Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 \,,$

우리가 보여줄 수있는 한

E [\log Ξ_{n}] = o (\log n) .

$\mathbb{E}[\log \Xi_n] = o(\log n) \,.$

은 모든 연속 랜덤 변수에 대해 동일한 분포 를 때문에 표시하기 어렵지 않을 수 있습니다 . 따라서 우리는 위에서 두 번째 결과를 얻습니다. $\Xi_n$

1. 마찬가지로, 우리는 위의 내용을 거의 확실하게 가지고 있습니다.

\frac{Z_{n}}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{\log (Ξ_{n})}{2 \log n} + o (1), .

$\frac{Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{\log(\Xi_n)}{2 \log n} +o(1),.$

따라서 우리가 그것을 보여줄 수 있다면 :

\begin{matrix} (*) & \log (Ξ_{n}) = o (\log n) almost surely, \end{matrix}

$\log(\Xi_n) = o(\log n) \text{ almost surely}, \tag{*}$

위의 첫 번째 결과를 보여 드리겠습니다. 결과 (*)는 분명히 암시하여 위의 첫 번째 결과를 제공합니다. $\mathbb{E}[\log (\Xi_n)] = o(\log n)$

또한 위의 ( ) 증명에서 우리는 거의 확실하게 (또는 적어도 비슷한 것으로) 가정해야하므로 우리가 ( ) 를 표시 할 수 있다면 우리는 거의 확실하게 을 보여줄 필요가 있을 것이므로 증명할 수 있다면 다음 결론에 즉시 도달 할 수있을 것입니다. $\dagger$ $\Xi_n = o(\log n)$ $\dagger$ $\Xi_n = o(\log n)$ $(\dagger)$

3. 그러나 우리가이 결과를 가지고 있다면, 나는 이후 어떻게 가질 지 이해할 수 없습니다. 입니다. 그러나 최소한 $\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + \Theta(1)$ $o(1) \not= \Theta(1)$

E Z_{n} = \sqrt{2 \log n} + O (1) .

$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + O(1) \,.$

따라서 우리는 보여주는 방법에 대한 질문에 대답하는 데 집중할 수 있습니다

Ξ_{n} = o (\log n) almost surely.

$\Xi_n = o(\log n) \text{ almost surely.}$

우리는 또한 (~)에 대한 증거를 제공하는 과감한 작업을 수행해야하지만, 아직 앉아서 아직 시도하지는 않았지만 미적분학이며 확률 이론이없는 내 지식을 최대한 활용해야합니다.

먼저 문제를 더 쉽게 해결할 수있는 방식으로 문제를 다시 표현하기 위해 일련의 사소한 일을 살펴 보겠습니다 (정의상 ). $\Xi_n \ge 0$

Ξ_{n} = o (\log n) ⟺ lim_{n \to \infty} \frac{Ξ_{n}}{\log n} = 0 ⟺ \forall ε > 0, \frac{Ξ_{n}}{\log n} > ε only finitely many times ⟺ \forall ε > 0, Ξ_{n} > ε \log n only finitely many times .

$\Xi_n = o(\log n) \quad \iff \quad \lim_{n \to \infty} \frac{\Xi_n}{\log n} = 0 \quad \iff \quad \\ \forall \varepsilon > 0, \frac{\Xi_n}{\log n} > \varepsilon \text{ only finitely many times} \quad \iff \\ \forall \varepsilon >0, \quad \Xi_n > \varepsilon \log n \text{ only finitely many times} \,.$

하나는 또한 그것을 가지고 있습니다 :

Ξ_{n} > ε \log n ⟺ n (1 - F (Z_{n})) > ε \log n ⟺ 1 - F (Z_{n}) > \frac{ε \log n}{n} ⟺ F (Z_{n}) < 1 - \frac{ε \log n}{n} ⟺ Z_{n} \leq inf {y : F (y) \geq 1 - \frac{ε \log n}{n}} .

$\Xi_n > \varepsilon \log n \quad \iff \quad n(1 - F(Z_n)) > \varepsilon \log n \quad \iff \quad 1 - F(Z_n) > \frac{\varepsilon \log n}{n} \\ \iff \quad F(Z_n) < 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \quad \iff \quad Z_n \le \inf \left\{ y: F(y) \ge 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \right\} \,.$

이에 따라 모든 대해 정의하십시오 . $n$

u_{n}^{(ε)} = inf {y : F (y) \geq 1 - \frac{ε \log n}{n}} .

$u_n^{(\varepsilon)} = \inf \left\{ y: F(y) \ge 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \right\} \,.$

따라서 위의 단계는 다음을 보여줍니다.

Ξ_{n} = o (\log n) a.s. ⟺ P (Ξ_{n} = o (\log n)) = 1 ⟺ P (\forall ε > 0, Ξ_{n} > ε \log n only finitely many times) = 1 ⟺ P (\forall ε > 0, Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} only finitely many times) = 1 ⟺ P (\forall ε > 0, Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often) = 0 .

$\Xi_n = o(\log n) \text{ a.s.} \quad \iff \quad \mathbb{P}(\Xi_n = o(\log n)) = 1 \quad \iff \quad \\ \mathbb{P}(\forall \varepsilon > 0 , \Xi_n > \varepsilon \log n \text{ only finitely many times}) = 1 \\ \iff \mathbb{P}(\forall \varepsilon > 0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ only finitely many times}) = 1 \\ \iff \mathbb{P}(\forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) =0 \,.$

다음과 같이 작성할 수 있습니다.

{\forall ε > 0, Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often} = ⋂_{ε > 0} {Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often} .

$\{ \forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} = \bigcap_{\varepsilon > 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \,.$

서열 로 균일하게 커지고 우리가 체결 할 수 있도록, 감소하는 이벤트 감소된다 (또는 으로 과 같이 적어도 어쨌든 단조로운) . 따라서 사건의 단조 적 순서에 관한 확률 공리로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. $u_n^{(\varepsilon)}$ $\varepsilon$

{Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often}

$\{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \}$

ε

$\varepsilon$

0

$0$

P (\forall ε > 0, Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often) = P (⋂_{ε > 0} {Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often}) = P (lim_{ε ↓ 0} {Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often}) = lim_{ε ↓ 0} P (Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often) .

$\mathbb{P}(\forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) = \\ \mathbb{P} \left( \bigcap_{\varepsilon > 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \right) = \\ \mathbb{P} \left( \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \right) = \\ \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) \,.$

따라서이 충분 모든 것을 보여주기 위해 , $\varepsilon >0$

P (Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often) = 0

$\mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) = 0$

물론 상수 시퀀스의 한계는 상수입니다.

다음은 약간의 망치 결과입니다.

정리 4.3.1., p. 254 of Galambos, 극단 주문 통계에 대한 점근 론 , 2 판. 하자 공통 비축 연속 분포 함수와 변수 IID 수 및하자 되도록 비 감소 시퀀스 일 과 같은 비 감소된다. 그런 다음 , 에 따라 $X_1, X_2, \dots$ $F(x)$ $u_n$ $n(1 - F(u_n))$ $u_n < \sup \{ x: F(x) <1 \}$
$P (Z_{n} \leq u_{n} infinitely often) = 0 or 1$ $\mathbb{P}(Z_n \le u_n \text{ infinitely often}) =0 \text{ or }1$ $\sum_{j = 1}^{+ \infty} [1 - F (u_{j})] \exp (- j [1 - F (u_{j})]) < + \infty or = + \infty .$ $\sum_{j=1}^{+\infty}[1 - F(u_j)]\exp(-j[1-F(u_j)]) < +\infty \text{ or }=+\infty \,.$

그 증거는 기술적 인 것이며 5 페이지 정도 걸리지 만 궁극적으로 Borel-Cantelli lemmas 중 하나의 결과로 밝혀졌습니다. 이 분석에 필요한 부분 만 사용하기 위해 증거를 정리하려고 노력할뿐 아니라 가우시안 경우에는 더 짧을 수도 있지만 여기에 입력하지 않는 가정 만 사용할 수도 있습니다. 그러나 숨을 참는 것은 권장하지 않습니다. 이 경우 이므로 조건이 비어 있고 은 이므로 명확하게 않습니다. $\omega(F)=+\infty$ $n(1-F(n))$ $\varepsilon \log n$

어쨌든 요점은 우리가 그것을 보여줄 수 있다면이 정리에 호소하는 것입니다.

\sum_{j = 1}^{+ \infty} [1 - F (u_{j}^{(ε)})] \exp (- j [1 - F (u_{j}^{(ε)})]) = \sum_{j = 1}^{+ \infty} [\frac{ε \log j}{j}] \exp (- ε \log j) = ε \sum_{j = 1}^{+ \infty} \frac{\log j}{j^{1 + ε}} < + \infty .

$\sum_{j=1}^{+\infty}[1 - F(u_j^{(\varepsilon)})]\exp(-j[1-F(u_j^{(\varepsilon)})]) = \sum_{j=1}^{+\infty}\left[ \frac{\varepsilon \log j}{j} \right]\exp(-\varepsilon \log j) = \varepsilon \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{ \log j}{j^{1 + \varepsilon}} < + \infty \,.$

대수 법률 지수에 대해 대수적 성장이 임의의 대 법률 성장보다 느리기 때문에 (대수 및 지수는 단조 보존입니다. 따라서 와 이전의 불평등은 과 변수의 변경 으로 인해 항상 충분히 크게 유지하는 것으로 볼 수 있습니다 .) $\log \log n \le \alpha \log n \iff \log n \le n^{\alpha}$ $n$ $\log n \le n$

\sum_{j = 1}^{+ \infty} \frac{\log j}{j^{1 + ε}} \leq \sum_{j = 1}^{+ \infty} \frac{j^{ε / 2}}{j^{1 + ε}} = \sum_{j = 1}^{+ \infty} \frac{1}{j^{1 + ε / 2}} < + \infty,

$\sum_{j=1}^{+\infty} \frac{\log j}{j^{1 + \varepsilon}} \le \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{j^{\varepsilon/2}}{j^{1 + \varepsilon}} = \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{1}{j^{1 + \varepsilon/2}} < +\infty \,,$

때문에 P- 시리즈는 모두 수렴 알려져 , 및 과정의 의미는 . $p>1$ $\varepsilon >0$ $1 + \varepsilon/2 > 1$

따라서 위의 정리를 사용하여 모든 에 대해 이며, 거의 확실합니다. $\varepsilon >0$ $\mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ i.o.}) = 0$ $\Xi_n = o(\log n)$

여전히 표시해야합니다 . 예를 들어, 위의 내용을 따르지 않습니다. $\log \Xi_n = o(\log \log n)$

\frac{1}{n} \log n = o (\log n), - \log n + \log \log n \neq o (\log n) .

$\frac{1}{n} \log n = o(\log n) \,, - \log n + \log \log n \not= o(\log n) \,.$

그러나, 시퀀스 특정 한 것을 표시 할 수 있다면, 임의위한 , 다음 팔로우를 않는다는 . 이상적으로 는 위의 정리를 사용하여 대해 이것을 표시하고 (심지어 사실이라고 가정하지만) 아직은 할 수 없습니다. $x_n$ $x_n = o( (\log n)^{\delta})$ $\delta >0$ $\log(x_n) = o(\log \log n)$ $\Xi_n$

— Chill2Macht
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