감마 분포 로그의 예상 값은 얼마입니까?

의 예상 값 이 인 경우 의 예상 값은 입니까 ? 분석적으로 계산할 수 있습니까?$\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$$\frac{\alpha}{\beta}$$\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

내가 사용하는 매개 변수는 모양 속도입니다.

이것은 (아마도 놀랍게도) 쉬운 기본 연산으로 수행 할 수 있습니다 (리차드 페인 만 (Richard Feynman)이 매개 변수와 관련하여 적분 부호로 차별화하는 가장 좋아하는 트릭을 사용함).

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우리는 $X$ 가 $\Gamma(\alpha,\beta)$ 분포를 가지고 있다고 가정 하고 $Y=\log(X).$ 의 기대치를 찾고자합니다 . 먼저, $\beta$ 는 스케일 파라미터 이므로 로그 β 만큼 로그 를 이동 시키는 효과가 있습니다 . (당신이 사용하는 경우 β A와 속도 매개 변수, 질문에서, 그것은으로 로그 이동합니다 - 로그 β를 . )이 허가 우리를 작업 할 수있는 경우와 β = 1.$\log\beta.$$\beta$$-\log\beta.$$\beta=1.$

이 단순화 후 $X$ 의 확률 요소 는

$$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

여기서 $\Gamma(\alpha)$ 는 정규화 상수입니다.

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$$

대입 $x=e^y,$ 수반 $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ 확률 소자 범 $Y$ ,

$$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$$

$Y$ 의 가능한 값은 이제 모든 실수 R에 걸쳐 있습니다.$\mathbb{R}.$

$f_Y$ 는 단일성과 통합되어야 하기 때문에 (사소한)

$$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$$

참고 $f_Y(y)$ 는 $\alpha.$ 의 미분 함수입니다 . 쉬운 계산은

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$$

다음 단계에서 해당 ID의 양쪽을 나눈 관계 이용한다 $\Gamma(\alpha),$ 이에 따라 매우 우리가 기대를 찾는 통합해야 오브젝트 노광하는 단계; 즉, $y f_Y(y):$

$$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$$

감마 함수의 대수 파생물 (일명 " polygamma ") 적분은 항등 ( 1 )을 사용하여 계산되었습니다 .$(1).$

계수 $\beta$ 다시 도입하면 일반적인 결과는 다음과 같습니다.

$$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$$

스케일 파라미터 화 (밀도 함수가 $x/\beta$ 에 의존하는 경우 ) 또는

$$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$$

비율 매개 변수화의 경우 (밀도 함수는 $x\beta$ 의존 함 ).

@whuber의 답변은 아주 좋습니다. 필자는 통계적 이론과 더 잘 연결되고 전반적인 기술의 힘을 분명히하는보다 일반적인 형태로 그의 답변을 근본적으로 다시 언급 할 것이다.

분포의 계열을 고려 $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$ consitute 지수 가족 들이 밀도 인정 의미

$$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$$ 와 관련 일반적인 지배 조치 (보통 Lebesgue 또는 계수 조치). ∫ f θ ( x ) d x의 양변 미분
$$\int f_\theta(x) \ dx = 1$$ $\theta$ 대하여 = 1 우리는점수 방정식에 도달 $$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$$ 여기서$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$는점수 함수이며 우리는$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$. 지수 패밀리의 경우, 우리는 $$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$$ 여기서$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$; 이는누적 생성 함수와 매우 밀접한 관련이 있기 때문에때때로누적 함수라고합니다. 이것은 지금부터 다음$(\dagger)$이$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$.

이제 이것이 요구 기대치를 계산하는 데 도움이된다는 것을 보여줍니다. 우리는 지수 군 f θ ( x ) = β α 로 고정 된 $\beta$ 로 감마 밀도를 쓸 수 있습니다.

$$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$$ 이것은 지수 가족에서$\alpha$형으로$s(x) = \log x$및(α)=가로그Γ을(α$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$ . 이제 d 를 계산하여 즉시 따라갑니다.$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$이 $$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$$