Deborah Mayo는 Birnbaum의 가능성 원칙에 대한 증거를 반박 했습니까?

이것은 내 이전 질문과 다소 관련이 있습니다. 가능성 원칙이 실제로 중요한 예는 무엇입니까?

분명히 Deborah Mayo는 Birnbaum의 가능성 원리에 대한 증거를 반박하는 통계 과학에 관한 논문을 발표 했습니다 . Birnbaum의 주요 주장과 Mayo의 반론에 대해 누구나 설명 할 수 있습니까? 그녀는 (논리적으로) 맞습니까?

간단히 말해, Birnbaum의 주장은 널리 받아 들여지는 두 가지 원칙은 가능성 원칙이 반드시 지켜야한다는 것을 논리적으로 암시한다는 것입니다. Mayo의 반론은 Birnbaum이 원칙 중 하나를 오용하기 때문에 증거가 잘못되었다는 것입니다.

아래에서는 논증이 매우 엄격하지 않은 범위에서 논증을 단순화합니다. 저의 목적은 원래의 주장이 매우 기술적이기 때문에 더 많은 사람들이 접근 할 수 있도록하는 것입니다. 관심있는 독자는 질문에 링크 된 기사의 세부 사항과 의견을보아야합니다.

구체적으로하기 위해, 나는 바이어스 $\theta$ 가 알려지지 않은 동전의 경우에 초점을 맞출 것이다 . 실험 $E_1$ 우리는 그것을 10 번 뒤집습니다. 실험 $E_2$ 우리는 3 개의 "꼬리"를 얻을 때까지 뒤집습니다. 실험에서 $E_{mix}$ 우리가 "2" "1"로 표시된 공정 동전 뒤집어 : 그것은 "1"우리 랜드 수행하는 경우 $E_1$ ; "2"에 도달하면 $E_2$ 수행 합니다. 이 예제는 토론을 크게 단순화하고 논증의 논리를 보여줄 것입니다 (원본 증명은 물론 더 일반적입니다).

원칙 :

다음 두 가지 원칙이 널리 사용됩니다.

약한 조건부 원리는 우리가 실험을 수행하기로 결정한 경우 같은 결론을 도출해야한다고 말한다 $E_1$ , 또는 우리가 수행하기로 결정한 경우 $E_{mix}$ 와 동전이 "1"토지.

충분 성 원칙 (Sufficiency Principle)에 따르면 충분한 통계량의 값이 동일한 두 실험에서 동일한 결론을 도출해야한다고합니다.

다음 원칙은 베이지안에서는 인정되지만 잦은 주의자들에게는 인정되지 않습니다. 그러나 Birnbaum은 이것이 처음 두 가지의 논리적 결과라고 주장합니다.

우도 원리 는 우도 함수가 비례하는 두 개의 실험에서 동일한 결론을 도출해야한다고 말합니다.

번바움의 정리 :

$E_1$ 을 수행 하고 10 번의 플립에서 7 개의 "헤드"를 얻습니다. $\theta$ 의 우도 함수 는 ${10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3$. 우리는$E_2$수행하고 동전을 10 번 뒤집어 3 개의 "꼬리"를 얻습니다. $\theta$의 우도 함수는${9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3$. 두 우도 함수는 비례합니다.

바움가 다음 통계 고려 $E_{mix}$ 에서 $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$ 행 $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$ :

$$T: (\xi, x,y) \rightarrow (1, x,y),$$ 여기서, $x$ 및 $y$ 는 각각 "머리"와 "꼬리"의 수입니다. 무슨 일이 있어도 $T$실험 $E_1$ 에서 온 것처럼 결과를보고합니다 . 이 밝혀 $T$ 충분 $\theta$ 에서 $E_{mix}$ . 사소하지 않은 유일한 경우는 $x = 7$ 이고 $y = 3$ 일 때입니다.

$$P(X_{mix}=(1,x,y)|T=(1,x,y)) = \frac{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3}{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3 + 0.5 \times {9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3}=\frac{{10 \choose 3}}{{10 \choose 3}+{9 \choose 7}}.$$ 다른 모든 경우는 0 또는 1 –$P(X_{mix}=(2,x,y)|T=(1,x,y))$를 제외하고 위의 확률을 보완합니다. 분포$X_{mix}$주어진$T$독립적$\theta$그래서,$T$에 대한 충분한 통계치 인$\theta$.

이제는 충분 성 원칙에 따라 E m i x 에서 $(1,x,y)$ 와 $(2,x,y)$ 에 대해 동일하게 결론을 내려야하며 약한 조건부 원칙에서 ( x)에 대해 동일하게 결론을 내려야합니다 , Y ) 에서 E (1) 및 ( 1 , X , Y ) 에서 E는 해요 내가 X 대해서뿐만 아니라, ( X , Y$E_{mix}$$(x,y)$$E_1$$(1,x,y)$$E_{mix}$$(x,y)$ 에$E_2$ 및$(2,x,y)$ 에서$E_{mix}$ . 따라서 우리의 결론은 모든 경우에 동일해야합니다. 이것이 가능성 원칙입니다.

메이요의 반 증거 :

Birnbaum 설정은 "1"과 "2"로 표시된 코인의 결과가 관찰 되지 않았기 때문에 혼합 실험이 아니므로 약한 조건부 원칙은 이 경우에 적용되지 않습니다 .

테스트 $\theta = 0.5$ 대 $\theta > 0.5$ 취하여 테스트 의 p- 값에서 결론을 도출하십시오. 예비 관찰로서, E 1 에서 $(7,3)$ 의 p- 값은 이항 분포에 의해 대략 0.1719로 제공 되며; E 2 에서 ( 7 , 3 ) 의 p- 값은 음의 이항 분포에 의해 대략 0.0898으로 주어진다 .$E_1$$0.1719$$(7,3)$$E_2$$0.0898$

여기에서 중요한 부분 제공 :의 p- 값 $T=(1,7,3)$ 에서 $E_{mix}$ 두의 평균으로 주어진다 - 우리는 동전의 상태를 모르는 기억 - 즉 약 $0.1309$ . 그러나, P의 값 $(1,7,3)$ 의 $E_{mix}$ 경화가 관찰되는 경우 - - 동일하다에서 $E_1$ , 예를 약 $0.1719$. 약한 조건부 원리 (체결 됨 동일 보유 $E_1$ 과의 $E_{mix}$ 경화가 "1"랜드 임) 아직 가능성 원리는하지 않는다. 반례는 Birnbaum의 정리를 반증합니다.

Peña와 Berger의 Mayo의 반 증거에 대한 반박 :

Mayo는 충분 성 원칙에 대한 진술을 암묵적으로 변경했습니다. 그녀는 "같은 결론"을 "같은 방법"으로 해석합니다. p- 값을 취하는 것은 추론 방법이지만 결론은 아닙니다.

충분 성 원리는 말한다 경우 충분한 통계가 존재, 다음 결론이 동일해야하지만, 충분한 통계 모두에서 사용할 수 있도록 할 필요가 없습니다. 그렇게한다면 Mayo가 보여 주듯이 모순이 생길 것입니다.