귀무 가설이 경우 이항 데이터의 검정력 분석

, 하여 이항 데이터의 단일 표본에 대한 검정력 분석을 수행하려고합니다 여기서 는 모집단의 성공 비율입니다. 경우 , I는 이항 법선 근사하거나 또는 사용할 수 -test하지만과 이 모두 실패한다. 이 분석을 수행 할 수있는 방법이 있는지 알고 싶습니다. 제안, 의견 또는 언급이 있으면 대단히 감사하겠습니다. 많은 감사합니다!$H_0: p = 0$$H_1: p = 0.001$$p$$0 < p <1$$\chi^2$$p =0$

단측의 정확한 대립 가설 여기서 및 있습니다. p 1 = 0.001 p 0 = $p_{1} > p_{0}$$p_{1} = 0.001$$p_{0} = 0$

• 첫 번째 단계는 크기 의 표본 에서 적어도 성공 을 얻을 확률 이 귀무 가설 (일반적으로 ) 에서 매우 낮 도록 성공 횟수에 대한 임계 값 를 식별하는 것 입니다. 귀하의 경우, 및 대한 특정 선택에 관계없이 입니다.$c$$c$$n$$\alpha = 0.05$$c=1$$n \geqslant 1$$\alpha > 0$
• 두 번째 단계는 대립 가설 하에서 크기가 표본 에서 최소 성공 확률을 찾는 것 입니다. 이것이 바로 귀하의 힘입니다. 이항 분포 이 완전히 지정되도록 고정 된 이 필요 합니다.$c$$n$$n$$\mathcal{B}(n, p_{1})$

R의 두 번째 단계 :$n = 500$

> n  <- 500                 # sample size
> p1 <- 0.001               # success probability under alternative hypothesis
> cc <- 1                   # threshold
> sum(dbinom(cc:n, n, p1))  # power: probability for cc or more successes given p1
[1] 0.3936211

표본 크기에 따라 검정력이 어떻게 변하는 지 이해하려면 검정력 함수를 그릴 수 있습니다.

nn   <- 10:2000                 # sample sizes
pow  <- 1-pbinom(cc-1, nn, p1)  # corresponding power
tStr <- expression(paste("Power for ", X>0, " given ", p[1]==0.001))
plot(nn, pow, type="l", xaxs="i", xlab="sample size", ylab="power",
     lwd=2, col="blue", main=tStr, cex.lab=1.4, cex.main=1.4)

미리 지정된 검정력을 달성하기 위해 필요한 표본 크기를 알고 싶다면 위에서 계산 한 검정력 값을 사용할 수 있습니다. 최소 의 거듭 제곱을 원한다고 가정하십시오 .$0.5$

> powMin <- 0.5
> idx    <- which.min(abs(pow-powMin))  # index for value closest to 0.5
> nn[idx]     # sample size for that index
[1] 693

> pow[idx]    # power for that sample size
[1] 0.5000998

따라서 검정력이 이 되려면 이상의 표본 크기가 필요합니다 .$693$$0.5$

pwrR 의 패키지 로이 질문에 쉽게 대답 할 수 있습니다 .

유의 수준, 검정력 및 효과 크기를 정의해야합니다. 일반적으로 유의 수준은 0.05로 설정되고 검정력은 0.8로 설정됩니다. 전력이 높을수록 더 많은 관측이 필요합니다. 유의 수준이 낮을수록 검정력이 감소합니다.

이 패키지에 사용 된 비율의 효과 크기는 Cohen 's h입니다. 작은 h에 대한 컷오프는 종종 0.20으로 간주됩니다. 실제 컷오프는 응용 프로그램에 따라 다르며 경우에 따라 더 작을 수 있습니다. h가 작을수록 더 많은 관찰이 필요함을 의미합니다. 당신은 당신의 대안이 이라고 말했습니다 . 아주 작습니다$p = 0.001$

> ES.h(.001, 0)
[1] 0.0632561

그러나 우리는 여전히 진행할 수 있습니다.

 > pwr.p.test(sig.level=0.05, power=.8, h = ES.h(.001, 0), alt="greater", n = NULL)

 proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 

          h = 0.0632561
          n = 1545.124
  sig.level = 0.05
      power = 0.8
alternative = greater

이 값을 사용하려면 최소한 1546 개의 관측치가 필요합니다.

특정 경우에는 간단한 정확한 해결책이 있습니다.

특정 귀무 가설 에서 성공을 관찰해서는 안됩니다. 따라서 하나의 성공을 관찰하자마자 임을 확신 할 수 있습니다 .$H_0: p=0$$p\neq0$

대안 하에서 최소 1 개의 성공을 관찰하기 위해 필요한 시행 횟수는 기하 분포를 따릅니다. 따라서 의 거듭 제곱을 달성하기 위해 최소 표본 크기를 얻으려면 와 같이 가장 작은 k를 찾아야합니다.$H_1: p=0.001$$1-\beta$

따라서 로 검정력 을 얻으려면 최소한 1610 개의 샘플이 필요합니다.$p=0.001$$80%$