이 분포에 대한 난수를 시뮬레이션하는 방법 찾기

누적 분포 함수를 사용하여 분포에서 의사 난수를 시뮬레이션하는 프로그램을 R로 작성하려고합니다.

$$F(x)= 1-\exp \left(-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right), \quad x \geq 0$$

여기서 $a,b>0, p \in (0,1)$

역변환 샘플링을 시도했지만 역으로 분석 할 수없는 것 같습니다. 이 문제에 대한 해결책을 제안 할 수 있다면 기쁠 것입니다.

이 연습에는 간단한 (그리고 우아하게 추가 할 수 있다면) 해결책이 있습니다. $1-F(x)$ 는 두 개의 생존 분포의 곱처럼 보이기 때문에 :

$$(1-F(x))=\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}=\underbrace{\exp\left\{-ax\right\}}_{1-F_1(x)}\underbrace{\exp\left\{-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}}_{1-F_2(x)}$$ $F$ $$X=\min\{X_1,X_2\}\qquad X_1\sim F_1\,,X_2\sim F_2$$ $F_1$$\mathcal{E}(a)$$F_2$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$

관련된 R 코드는 얻는 것만 큼 간단합니다.

x=pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))) #simulating an n-sample

그리고 그것은 역 pdf 및 수락 거부 해상도보다 훨씬 빠릅니다.

> n=1e6
> system.time(results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(n)))
utilisateur     système      écoulé 
    89.060       0.072      89.124 
> system.time(x <- simuF(n,1,2,3))
utilisateur     système      écoulé 
     1.080       0.020       1.103 
> system.time(x <- pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))))
utilisateur     système      écoulé 
     0.160       0.000       0.163 

놀랍도록 완벽한 착용감 :

항상 역변환을 수치 적으로 해결할 수 있습니다.

아래에서는 매우 간단한 이분법 검색을 수행합니다. 주어진 입력 확률 ( 식에 이미 가 있으므로 를 및 합니다. 그런 다음 까지 두 배로 합니다. 마지막으로, 길이가 보다 짧고 중간 점 만족할 때까지 구간 반복적으로 이등분합니다 .$q$$q$$p$$x_L=0$$x_R=1$$x_R$$F(x_R)>q$$[x_L,x_R]$$\epsilon$$x_M$$F(x_M)\approx q$

ECDF는 귀하의 를 및 중에서 선택하기에 충분히 적합하며 상당히 빠릅니다. 간단한 이분법 검색 대신 일부 뉴턴 유형 최적화를 사용하여 속도를 높일 수 있습니다.$F$$a$$b$

aa <- 2
bb <- 1
pp <- 0.1

cdf <- function(x) 1-exp(-aa*x-bb*x^(pp+1)/(pp+1))

simulate <- function(prob,epsilon=1e-5) {
    left <- 0
    right <- 1
    while ( cdf(right) < prob ) right <- 2*right

    while ( right-left>epsilon ) {
        middle <- mean(c(left,right))
        value_middle <- cdf(middle)
        if ( value_middle < prob ) left <- middle else right <- middle
    }

    mean(c(left,right))
}

set.seed(1)
results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(10000))
hist(results)

xx <- seq(0,max(results),by=.01)
plot(ecdf(results))
lines(xx,cdf(xx),col="red")

수락 거부에 의한 직접 해결 방법은 다소 복잡합니다. 먼저 간단한 미분은 분포의 pdf가 임을 나타냅니다. 둘째, 상한 셋째, 의 두 번째 항을 고려하여 변수 즉, 입니다. 그런 다음 은 변수 변경의 야곱입니다. 경우

$$f(x)=(a+bx^p)\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}$$ $$f(x)=ae^{-ax}\underbrace{e^{-bx^{p+1}/(p+1)}}_{\le 1}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\underbrace{e^{-ax}}_{\le 1}$$ $$f(x)\le g(x)=ae^{-ax}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$ $g$$\xi=x^{p+1}$$x=\xi^{1/(p+1)}$ $$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}\xi}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{1}{p+1}-1}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}$$ $X$ 형식의 밀도를 갖습니다. 여기서 는 정규화 상수이고 의 밀도는 즉, (i) 는 지수 변수 로 분포되며 (ii) 상수 는 1과 같습니다. 따라서 는 지수 분포와 지수 의 제곱의 똑같이 가중 된 혼합물 과 같습니다.$\kappa bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$\kappa$$\Xi=X^{1/(p+1)}$ $$\kappa b\xi^{\frac{p}{p+1}}e^{-b\xi/(p+1)}\,\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}=\kappa \dfrac{b}{p+1}e^{-b\xi/(p+1)}$$ $\Xi$$\mathcal{E}(b/(p+1))$$\kappa$$g(x)$$\mathcal{E}(a)$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$분포의 누락 곱셈 상수 모듈로 가중치를 고려하여 : 와 을 혼합하여 시뮬레이션 쉽다.$2$ $$f(x)\le g(x)=2\left(\frac{1}{2} ae^{-ax}+\frac{1}{2} bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\right)$$ $g$

따라서 수락-거부 알고리즘의 R 렌더링은

simuF <- function(a,b,p){
  reepeat=TRUE
  while (reepeat){
   if (runif(1)<.5) x=rexp(1,a) else
      x=rexp(1,b/(p+1))^(1/(p+1))
   reepeat=(runif(1)>(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1))))}
  return(x)}

그리고 n- 표본의 경우 :

simuF <- function(n,a,b,p){
  sampl=NULL
  while (length(sampl)<n){
   x=u=sample(0:1,n,rep=TRUE)
   x[u==0]=rexp(sum(u==0),b/(p+1))^(1/(p+1))
   x[u==1]=rexp(sum(u==1),a)
   sampl=c(sampl,x[runif(n)<(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1)))])
   }
  return(sampl[1:n])}

다음은 a = 1, b = 2, p = 3에 대한 그림입니다.