공정한 d6을 사용하여 1에서

공정한 6면 주사위 (d6)를 굴려서 1에서 특정 까지 정수를 그리려고 합니다. 좋은 대답은 왜 그 방법이 균일 하고 독립적 인 정수를 생성하는지 설명 할 것 입니다.$N$

예시적인 예로서, 의 경우에 어떻게 솔루션이 작동하는지 설명하는 것이 도움이 될 것 입니다.$N=150$

또한 가능한 한 효율적으로 절차를 수행하고 싶습니다. 생성 된 각 숫자에 대해 최소 개수의 d6을 평균적으로 굴립니다.

Senary 에서 10 진수로의 변환 은 허용됩니다.

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이 질문은이 메타 스레드에서 영감을 얻었습니다 .

면을 갖는 다이의 독립적 인 롤 에서 식별 가능한 식별 가능한 결과 의 세트 은 요소를 갖는다. 다이는 공정 인 경우에는, 수단은 하나의 롤의 각 결과에 확률 갖는 이러한 결과는 각각 따라서 확률 것이다 독립 수단 이고, 그들이 균일 한 분포를 갖도록$\Omega(d,n)$$n$$d=6$$d^n$$1/d$$(1/d)^n:$$\mathbb{P}_{d,n}.$

다이 의 결과 , 즉 의 요소를 결정하거나 실패를보고 하는 절차 를 고안했다고 가정 해 봅시다. 결과를 얻으려면 반복하십시오.) 그건,$t$$m$$c (=150)$$\Omega(c,m)$

$$t:\Omega(d,n)\to\Omega(c,m)\cup\{\text{Failure}\}.$$

하자 확률 될 것이 실패 결과 비고 어떤 정수배 말하자면$F$$t$$F$$d^{-n},$

$$F = \Pr(t(\omega)=\text{Failure}) = N_F\, d^{-n}.$$

(나중에 참조 할 수 있도록 실패하지 않기 전에 를 호출해야하는 예상 횟수 는 )$t$$1/(1-F).$

요건 이러한 결과 것을 균일하고 독립적 인 조건 에서 실패 수단보고하지 즉 의미에서 보존 확률이 모든 이벤트$\Omega(c,m)$t t A ⊂ Ω ( c , m ) ,$t$$t$$\mathcal{A}\subset\Omega(c,m),$

$$\frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) \tag{1}$$

어디

$$t^{*}\left(\mathcal A\right) = \{\omega\in\Omega\mid t(\omega)\in\mathcal{A}\}$$

프로 시저 가 이벤트 할당 하는 다이 롤 세트입니다$t$.$\mathcal A.$

원자력 이벤트 . 확률은 이어야합니다 ( 와 관련된 주사위 롤 )에 요소 가 있다고 합시다 . 이됩니다$\mathcal A = \{\eta\}\subset\Omega(c,m)$$c^{-m}.$$t^{*}\left(\mathcal A\right)$$\eta$$N_\eta$$(1)$

$$\frac{N_\eta d^{-n}}{1 - N_F d^{-n}} = \frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) = c^{-m}.\tag{2}$$

가 모두 정수 과 같다는 것은 즉각이다$N_\eta$$N.$ 가장 효율적인 절차를 찾아야한다 비 장애의 예상 수 의 롤 당 다이 양면 IS를$t.$씨$c$

$$\frac{1}{m}\left(1 - F\right).$$

두 가지 즉각적이고 명백한 의미가 있습니다. 하나는 이 커질 때 작게 유지할 수 있다면 실패보고의 효과는 무의미 하다는 것 입니다. 다른 하나는 주어진 ( 시뮬레이션을 위해 다이 의 롤 수 )에 대해 를 가능한 작게 만들고 싶습니다 .$F$$m$$m$$c$$F$

분모를 지우고 를 자세히 살펴 보겠습니다 .$(2)$

$$N c^m = d^n - N_F \gt 0.$$

이것은 (결정 주어진 상황에서 그것이 분명하게 ), 함으로써 가능한 한 작게 만들어진다 최대의 다중 동일 보다 작거나 같음 우리는 이것을 가장 큰 정수 함수 (또는 "floor") 로 쓸 수 있습니다.$c,d,n,m$$F$$d^n-N_F$$c^m$$d^n.$$\lfloor*\rfloor$

$$N = \lfloor \frac{d^n}{c^m} \rfloor.$$

마지막으로 은 중복성 을 측정하기 때문에 효율성을 높이기 위해 가능한 한 작아야 한다는 것이 분명합니다 . 구체적으로, 다이 의 하나의 롤을 생성하는데 필요한 다이 의 예상 롤 수 는$N$t d c$t$$d$$c$

$$N \times \frac{n}{m} \times \frac{1}{1-F}.$$

따라서 고효율 절차에 대한 우리의 탐색은 이 일부 전력 과 거의 같거나 거의 크지 않은 경우에 중점을 두어야합니다$d^n$$c^m.$

주어진 와 대해,이 접근법이 완벽한 효율에 근접한 배수 의 시퀀스가 있음을 보여 주면서 분석이 끝납니다 . 이는 이 한계에서 에 접근 하는 을 찾는 것입니다 자동으로 보장 ). 이러한 하나의 시퀀스 취함으로써 얻어진다 및 판단$d$$c,$$(n,m)$$(n,m)$$d^n/c^m \ge 1$$N=1$$F\to 0$$n=1,2,3,\ldots$

$$m = \lfloor \frac{n\log d}{\log c} \rfloor.\tag{3}$$

증거는 간단합니다.

이것은 우리가 원래 롤하고자 때 꼭 시간의 충분히 큰 수를 다이 양면 우리 시뮬레이션 기대할 수를 거의 의 결과 (A)의 롤 당 다이 양면 . 마찬가지로$d$$n,$$\log d / \log c = \log_c d$$c$

다수의 시뮬레이션 할 수 (A)의 독립적 인 롤 적정에 사용한 다이 양면 평균하여 다이 양면 결과 당 롤 선택하여 임의로 작게 할 수 충분히 커야한다.$m$$c$$d$$\log(c)/\log(d) + \epsilon = \log_d(c) + \epsilon$$\epsilon$$m$

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예제와 알고리즘

질문에서 이고 .$d=6$$c=150,$

$$\log_d(c) = \frac{\log(c)}{\log(d)} \approx 2.796489.$$

따라서 가능한 최상의 절차는 각 결과 를 시뮬레이트하기 위해 평균 롤 이상이 필요합니다 .$2.796489$d6d150

분석은이를 수행하는 방법을 보여줍니다. 우리는 그것을 수행하기 위해 숫자 이론에 의지 할 필요가 없습니다 : 우리는 단지 과 의 거듭 제곱을 도표화 하고 비교하여 은 가깝습니다. 이 무차별 힘 계산은 쌍을 제공합니다$d^n=6^n$$c^m=150^m$$c^m \le d^n$$(n,m)$

$$(n,m) \in \{(3,1), (14,5), \ldots\}$$

예를 들어 숫자에 해당

$$(6^n, 150^m) \in \{(216,150), (78364164096,75937500000), \ldots\}.$$

첫 번째 경우에서 는 a의 3 개의 롤 결과의 을 실패에 연관 시키고 다른 결과는 각각 a의 단일 결과와 연관 될 것이다 . $t$$216-150=66$d6$150$d150

두 번째 경우에서 는 14 롤의 결과 중 을 실패 에 연결하고 ( 약 3.1 %)-5 개의 결과 시퀀스를 출력합니다 .$t$$78364164096-75937500000$d6d150

구현하는 간단한 알고리즘$t$ d 0 , 1 , … , d - 1 c 0 , 1 , … , c - 1. n n d . c . m m t 의 라벨면 도면 부호 다이 양면 과의 얼굴 도면 부호 다이 양면첫 번째 다이 의 롤은 베이스 에서 자리 숫자 로 해석됩니다 이것은 밑 의 숫자로 변환됩니다 최대 자릿수 가 있으면 마지막 자릿수 의 순서 가 출력됩니다. 그렇지 않으면, 는 재귀 적으로 호출하여 Failure를 리턴합니다.$d$$0,1,\ldots, d-1$$c$$0,1,\ldots, c-1.$$n$$n$$d.$$c.$$m$$m$$t$

훨씬 더 긴 시퀀스 의 경우 의 연속 분수 확장의 다른 모든 수렴 을 고려하여 적합한 쌍 을 찾을 수 있습니다 연속 분수 이론은 이러한 수렴이 보다 작고 클 때 사이에서 번갈아 나타난다는 것을 보여줍니다 ( 가 이미 합리적이지 않다고 가정 ). 보다 작은 것을 선택하십시오$(n,m)$$n/m$$x=\log(c)/\log(d).$$x$$x$$x.$

문제에서 처음 몇 가지 수렴은

$$3, 14/5, 165/59, 797/285, 4301/1538, 89043/31841, 279235/99852, 29036139/10383070 \ldots.$$

마지막 경우, 29,036,139 롤의 a d6시퀀스는d150 미만의 실패율을 가진 10,383,070 롤의 시퀀스를 생성하여 2.79649 의 효율로 점근 적 한계에서 없습니다.$2\times 10^{-8},$$2.79649$

의 경우 d6을 세 번 굴리면 결과가 뚜렷하게 나타납니다 .$N=150$$6^3=216$

원하는 결과를 다음과 같이 표로 만들 수 있습니다.

• d6을 순차적으로 세 번 기록하십시오. 결과 생성됩니다 . 의 모든 값 이 동일 할 가능성이 있기 때문에 결과는 균일 합니다 (주사위는 공정하고 각 롤은 별개로 취급됩니다).$a,b,c$$a,b,c$
• 각각에서 1을 빼십시오.
• 이것은 숫자입니다. 각 자릿수 (자리수 값)는 6의 거듭 제곱으로 0에서 5까지가되므로 사용하여 10 진수로 숫자를 쓸 수 있습니다 $$(a-1) \times 6^2 + (b-1) \times 6^1 + (c-1)\times 6^0$$
• 1을 더하십시오.
• 결과가 150을 초과하면 결과를 버리고 다시 굴립니다.

결과를 유지할 확률은 입니다. 모든 롤은 독립적이며 "성공"(결과 ) 까지 절차를 반복 하므로 1과 150 사이에서 1 개의 드로우를 생성 하려는 시도 횟수 가 기하 임의 변수로 분포됩니다. 기대 갖는다 . 따라서이 방법을 사용하여 1 드로우를 생성하려면 평균 주사위 롤이 필요합니다 (각 시도 롤이 3 주사위이기 때문에).$p=\frac{150}{216}=\frac{25}{36}$$1,2,\dots,150$$p^{-1}=\frac{36}{25}$$\frac{36}{25}\times 3 =4.32$

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채팅에서이를 제안 해 주신 @whuber에게 감사드립니다.

경우 Sycorax 의 답변에 대한 더 간단한 대안은 다음과 같습니다 . 이므로 다음 절차를 수행 할 수 있습니다.$N=150$$150 = 5 \times 5 \times 6$

1에서 150 사이의 균일 한 난수 생성 :

• 3 개의 1D6 롤을 .$R_1, R_2, R_3$
• 처음 두 롤 중 하나가 6 인 경우 6이 아닐 때까지 다시 굴립니다.
• 숫자 는 기수가 5-5-6 인 위치 표기법을 사용하는 균일 한 숫자입니다. 따라서 원하는 숫자를 $(R_1, R_2, R_3)$ $$X = 30 \cdot (R_1-1) + 6 \cdot (R_2-1) + (R_3-1) + 1.$$

이 방법은 더 큰 으로 일반화 할 수 있지만 값에 보다 큰 소수가 하나 이상 있으면 조금 더 어색해집니다 .$N$$6$

6면 주사위를 사용하여 $150$ 값 중에서 균일하게 선택하는 알고리즘을 설명하기 위해 각 롤을 사용하여 사용 가능한 값에 $6$ 을 곱하고 각각의 새로운 값을 동일하게 만들 수 있습니다.

• 후 $0$ 롤, 당신은 할 $1$ 을 구분하는 것만으로는 충분하지 가능성, $150$ 값을
• $1$ 롤 후 $6$ 가능성이 있으며 $150$ 값 을 구별하기에는 충분하지 않습니다.
• $2$ 번의 롤 후 $36$ 가능성이 있으며 $150$ 값 을 구분하기에는 충분하지 않습니다.
• $3$ 롤 후 $216$ 가능성 이 있습니다. $150$ 값 을 구별하기에는 충분 하지만 $66$ 개의 값이 남아 있습니다. 당신이 지금 멈출 확률은 $\frac{150}{216}$
• 중지하지 않은 경우 $4$ 롤 이후 에는 $396$ 잔존 가능성이 있으며 $150$ 개의 값을 두 가지 방법으로 구분할 수 있지만 $96$ 남은 값 으로 구분할 수 있습니다. 당신이 지금 멈출 확률은 $\frac{300}{1296}$
• 중지하지 않은 경우 $5$ 롤 후 $576$ 잔존 가능성이 있으며 $150$ 값을 세 가지 방법으로 구분할 수 있지만 $96$ 잔존 값 으로 구분할 수 있습니다. 당신이 지금 멈출 확률은 $\frac{450}{7776}$
• 중지하지 않은 경우 $6$ 롤 후에는 $756$ 개의 가능성 이 생겨 $150$ 값을 5 가지 방법으로 구분할 수 있지만 나머지 $6$ 개의 값 으로 구분할 수 있습니다. 당신이 지금 멈출 확률은 $\frac{750}{46656}$

6 롤 후 6 $6$ 나머지 값 중 하나에 있으면 1 롤 후의 위치와 유사한 상황에 있습니다. 따라서 같은 방식으로 계속할 수 있습니다. 7 롤 후 멈출 확률 은 0입니다.$6$$1$$7$$\frac{0}{279936}$$8$롤후150, 279936$\frac{150}{1679616}$ 등

이것들을 $3.39614$ 필요한 롤 수는 약 3.39614 입니다. 동일한 확률로 150 을 각각 선택할 수있는 경우에만 값을 선택 하므로 $150$ 에서 균일 한 선택을 제공합니다.$150$

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Sycorax는보다 명확한 알고리즘에 대한 의견을 물었습니다.

• 첫째,베이스 -에서 작동 $6$ 과 $150_{10}=410_6$
• 둘째, 목표 값 $1_6$ ~ $410_6$ 대신 목표 값이 $0_6$ ~ 409 6 이되도록 1을 뺍니다.$409_6$
• 셋째, 각 다이는 $0_6$ ~ $5_6$ 값을 가져야 하며, 다이를 굴리는 것은 기존 생성 숫자의 오른쪽에 기본 $6$ 자리 숫자를 추가하는 것과 관련이 있습니다. 생성 된 숫자는 선행 0을 가질 수 있으며 자릿수는 지금까지 롤 수입니다.

이 알고리즘은 주사위의 연속 롤입니다.

• 처음 3 개의 주사위를 굴려 $000_6$ 에서 $555_6$ 사이의 숫자를 생성합니다 . $1000_6 \div 410_6 = 1_6 \text{ remainder } 150_6$ 이기 때문에 생성 된 값이 1000 6 − 150 6 = 410 6 미만이면 생성 된 값 ( $410_6$ 으로 나눈 나머지 값)을 가져와 정지합니다.$1000_6-150_6=410_6$

• 계속하면 4 번째 주사위를 굴려 $4100_6$ 에서 $5555_6$ 까지의 숫자를 생성하십시오 . $10000_6 \div 410_6 = 12_6 \text{ remainder } 240_6$ 이기 때문에 생성 된 값이 10000 6 − 240 6 = 5320 6 미만이면 $410_6$ 으로 나눈 나머지 생성 된 값을 가져 와서 중지합니다.$10000_6-240_6=5320_6$

• 계속하면 다섯 번째 주사위를 굴려 $53200_6$ 에서 $55555_6$ 까지의 숫자를 생성하십시오 . 이후 $100000_6 \div 410_6 = 123_6 \text{ remainder } 330_6$ 는 분할에 의해 생성 된 값의 나머지를 수행 $410_6$ 상기 생성 된 값을 엄격 이하이면 $100000_6-330_6=55230_6$ 중지;

• 계속하면 6 번째 주사위를 $552300_6$ 에서 $555555_6$ 까지의 숫자를 생성 하십시오 . 이후 $1000000_6 \div 410_6 = 1235_6 \text{ remainder } 10_6$ 는 분할에 의해 생성 된 값의 나머지를 수행 $410_6$ 상기 생성 된 값을 엄격 미만인 경우 $1000000_6-10_6=555550_6$ 중지;

• 기타