비율에 대한 신뢰 구간을 구성하기 위해 t- 분포를 사용하지 않는 이유는 무엇입니까?

알 수없는 모집단 표준 편차 (sd)의 평균에 대한 신뢰 구간 (CI)을 계산하기 위해 t- 분포를 사용하여 모집단 표준 편차를 추정합니다. 특히 여기서 입니다. 그러나 모집단의 표준 편차에 대한 점 추정치가 없으므로 근사 통해 추정합니다. 여기서$CI=\bar{X} \pm Z_{95\% }\sigma_{\bar X}$$\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt n}$$CI=\bar{X} \pm t_{95\% }(se)$$se = \frac{s}{\sqrt n}$

반대로 인구 비율의 경우 CI를 계산하기 위해 CI 와 비슷합니다. 여기서 제공 및$CI = \hat{p} \pm Z_{95\% }(se)$$se = \sqrt\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}$$n \hat{p} \ge 15$$n(1-\hat{p}) \ge 15$

제 질문은 왜 인구 비율에 대한 표준 분포에 만족합니까?

표준 정규 분포와 스튜던트 t 분포는

작은 경우 오차가 너무 커서이 두 분포의 차이가 줄어 듭니다.$n,$

여기 세 분포 (생략 사례를 비교 P 또는 1 - p는 비율이 정의되지 제로이다)에 대해 N = 10 , P = 1 / 2 :$\hat p$$1-\hat p$$n=10, p=1/2:$

은 "경험"분포이다의 $Z,$ 추정 된 때문에 이산 있어야 P는 유한 세트에 한정되는 { 0 , 1 / N , 2 / N , ... , N / N } .$\hat p$$\{0, 1/n, 2/n, \ldots, n/n\}.$

$t$ 분포는 근사의 더 나은 일을 할 것으로 보인다.

를 들어 $n=30$ 및 $p=1/2,$ 당신은 표준 일반 및 학생 t 분포의 차이는 완전히 무시할 볼 수 있습니다 :

Student t 분포는 표준 정규보다 복잡하기 때문에 (이전에는 단일 페이지가 아닌 전체 테이블 장을 필요로하는 "자유도"에 의해 인덱스 된 전체 분포 계열이므로 거의 모든 표준에 표준 Normal이 사용됩니다. 근사치.

평균에 대한 신뢰 구간에서 t 분포를 사용하는 데 대한 근거는 기본 데이터가 정규 분포를 따르고 표준 편차를 추정 할 때 카이 제곱 분포로 이어지고 ˉ x − μ로 가정한다는 가정에 의존합니다.$\frac{\bar{x}-\mu}{s/ \sqrt{n}} \sim t_{n-1}$. 이것은 데이터가 정확히 정상이라는 가정 하의 정확한 결과이며,$t$사용할 때는 정확히 95 %의 적용 범위,$z$사용하는 경우에는 95 % 미만의신뢰 구간으로 이어집니다.

비율에 대한 월드 간격의 경우, 당신은 단지에 대한 점근 정규성을받을 P - P$\frac{\hat{p}- p}{\sqrt{ \hat{p}(1-\hat{p} )/n}}$n이 P에 따라 충분히 큰 것이다. 기본 성공 횟수가 불연속이기 때문에 절차의 실제 적용 확률은 때때로 미지의$p$에 따라 95 %의 명목 적용 확률보다 낮고 때로는 높습니다. 따라서$t$사용에 대한 이론적 근거는 없으며$t$를 사용하여 구간을 더 넓게 만드는실제적인 관점에서실제로 95 %의 공칭 범위를 달성하는 데 도움이된다는 보장은 없습니다.

커버리지 확률은 정확하게 계산할 수 있지만 시뮬레이션하는 것은 매우 간단합니다. 다음 예는 n = 35 일 때의 모의 적용 범위 확률을 보여줍니다. z- 간격을 사용하기위한 적용 확률은 일반적으로 .95보다 약간 작으며, t- 간격을위한 적용 가능성은 일반적으로 p의 그럴듯한 값에 대한 이전의 신념에 따라 평균 .95에 약간 더 가깝다는 것을 보여줍니다 .

AdamO와 jsk는 모두 훌륭한 답변을 제공합니다.

나는 평범한 영어로 포인트를 반복하려고합니다.

기본 분포가 정규이면 평균 과 분산 이라는 두 가지 매개 변수가 있음을 알 수 있습니다 . T 분포는 분산의 정확한 값을 모른 채 평균을 추론하는 방법을 제공합니다. 실제 분산을 사용하는 대신 표본 평균과 표본 분산 만 필요합니다. 그것이 정확한 분포이기 때문에, 당신은 무엇을 얻고 있는지 정확하게 알고 있습니다. 즉, 적용 확률이 정확합니다. t의 사용법은 단순히 알려지지 않은 인구 분산을 피하려는 욕구를 반영합니다.

그러나 우리가 비례 추론을 할 때, 기본 분포는 이항입니다. 정확한 분포를 얻으려면 Clopper-Pearson 신뢰 구간을 확인해야합니다. 제공하는 공식은 Wald 신뢰 구간의 공식입니다. 정규 분포 는 이항 분포의 제한 분포이므로 정규 분포를 사용하여 이항 분포를 근사화 합니다. 이 경우 근사치에 불과하기 때문에 t 통계 사용으로 인한 추가 정밀도 수준이 불필요 해지며 이는 모두 경험적인 성능으로 귀결됩니다. BruceET의 답변에서 제안한 바와 같이, Agresti-Coull은 오늘날 이러한 근사치에 대한 단순하고 표준적인 공식입니다.

Texas A & M의 Longnecker 교수는 이항 기반 CI와 비교하여 다른 근사가 어떻게 작동하는지 설명하기 위해 간단한 시뮬레이션을 수행했습니다.

자세한 정보는 통계 과학 의 이항 비례 에 대한 구간 추정 기사 , Vol. 16, pp. 101-133, L. Brown, T. Cai 및 A. DasGupta. 기본적으로 AC CI는 n> = 40에 권장됩니다.

정규 평균에 대한 신뢰 구간입니다. 정규 모집단 의 랜덤 표본 $X_1, X_2, \dots X_n$ 이 있다고 가정 합니다. 가설 검정 측면에서 정규 평균 $\mu$ 에 대한 신뢰 구간을 살펴 보겠습니다 . 경우 $\sigma$ 공지되어 다음의 양면 테스트 $H_0:\mu = \mu_0$ 대하여 $H_a: \mu \ne \mu_0$ 통계에 기초 $Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.$경우$H_0$에 해당하고,$Z \sim \mathsf{Norm}(0,1),$우리는 거부$H_0$의 경우 5 % 수준에서$|Z| \ge 1.96.$

그런 다음 '테스트를 반전', 우리에 대한 95 % CI 말 $\mu$ 값으로 구성 $\mu_0$ 의 '믿을 수'값 - 거부로 이어질하지 않습니다 $\mu.$CI는 $\bar X \pm 1.96\sigma/\sqrt{n},$여기서표준 정규 분포의 상단 및 하단 꼬리에서 각각$\pm 1.96$컷 확률 0.025.

인구 표준 편차의 경우 $\sigma$ 알 수없는 샘플 표준 편차에 의해 추정이다 $S,$ 우리는 통계 사용 $T=\frac{\bar X - \mu_0}{S/\sqrt{n}}.$1900 년대 초반에 사람들은$T$가충분히 큰$n$대해 표준 표준이라고 가정하고$S$를 알려지지 않은$\sigma.$의 대체물로사용했습니다. 얼마나 많은수가 충분히큰지에 대한 논쟁이있었습니다.

결국, n - 1 자유도를 갖는 스튜던트 t 분포 인 $T \sim \mathsf{T}(\nu = n-1),$ 것으로 알려져있다 . 따라서 σ 를 모르는 경우에는 ˉ X ± t ∗ S / √$n-1$$\sigma$$\bar X \pm t^*S/\sqrt{n},$여기서$\pm t^*$T(n-1)의 위쪽 및 아래쪽 꼬리에서 각각 0.025의 절단 확률 0.025.$\mathsf{T}(n-1).$

[ 참고 : 들어 $n > 30,$ 사람들은이에 대한 95 % CI에 나타났습니다 $t^* \approx 2 \approx 1.96.$따라서 σ 를 알 수없고 n > 30 일 때 $S$ 를 $\sigma$ 대치 할 수 있다는 세기의 오래된 생각은 최근에 출판 된 일부 책에서도 지속되었다.]$\sigma$$n > 30,$

이항 비율에 대한 신뢰 구간입니다. 이항 법의 경우, n 개의 독립적 인 실험을 가진 이항 실험에서 $X$ 성공을 관찰했다고 가정 합니다. 그럼 사용 P = X / N을 이항 성공 확률의 추정치로서 P . 시험하기 위해 H 0 : P = P 0 대 H : P ≠ P > 0 , 우리는 statitic 사용 Z = P를 - P 0$n$$\hat p =X/n$$p.$$H_0:p = p_0$$H_a: p \ne p>0,$$Z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}.$$H_0,$하에서,$Z \stackrel{aprx}{\sim} \mathsf{Norm}(0,1).$임을 알 수있다. 우리가 거부 그래서$H_0$경우$|Z| \ge 1.96.$

$p,$ 대해 95 % CI를 얻기 위해이 테스트를 뒤집으려고하면 몇 가지 어려움이 있습니다. 테스트를 반전 할 수있는 '쉬운'방법은 서면으로 시작하는 것입니다 P ± 1.96 √$\hat p \pm 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$p$$n,$$\hat p$$p.$$\hat p \pm 1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.$$n$

$\check n = n+4$$\check p = (X+2)/\check n$$\check p \pm 1.96\sqrt{\frac{\check p(1-\check p)}{\check n}}.$

$\mu$$p$

$S$$\sigma$$\sigma$

$\hat p$$p$$\hat p$$p.$$p$$n.$

$\sigma$

$\sigma$

$\sigma$

$\sigma$

또한이 질문은 이 질문에 의해 요청 된 답변을 반영한다는 점에 유의해야합니다 .