또는 의 균일 분포 의 합을 고려하십시오 . 왜 대해 의 PDF에서 사라 ?

나는 이것에 대해 잠시 동안 궁금해했다. 나는 그것이 갑자기 어떻게 일어나는지 조금 이상하다고 생각한다. 기본적으로 이 평활화 위해 3 개의 유니폼 만 필요한 이유 는 무엇입니까? 그리고 왜 평활화가 비교적 빨리 발생합니까? $Z_n$

$Z_2$ :

$Z_3$ :

(John D. Cook의 블로그 ( http://www.johndcook.com/blog/2009/02/12/sums-of-uniform-random-values/ ) 에서 부끄럽게 도난당한 이미지 )

왜 네 개의 유니폼을 입지 않습니까? 아니면 다섯? 또는...?

— 테트라 그램
소스

글쎄, 3 유니폼의 합은 pf에 2 차 세그먼트를 가지고 있기 때문에 2 개 이상의 유니폼을 입으면 평균에서 피크를 가지기 때문에 아주 간단합니다. 2 차 피크는 "부드럽습니다"... 2 차 조각 사이의 결합은 1과 2에 있으므로 1.5에서 꼬일 수 없습니다 . 같은 결론에 도달하는 다른 방법이 있습니다

— Glen_b

우리는 이것에 대한 다양한 접근 방식을 취할 수 있습니다. 어떤 방법은 어떤 사람들에게는 직관적으로 보일 수도 있고 다른 사람들에게는 직관적으로 보이지 않을 수도 있습니다. 이러한 변화를 수용하기 위해,이 답변은 분석 (무한과 무한), 기하학 / 토폴로지 (공간 관계), 대수 (심볼 조작의 형식적 패턴)와 같은 수학적 사고의 주요 부분을 다루는 몇 가지 그러한 접근법을 조사합니다. 확률 자체. 그것은 네 가지 접근법을 모두 통일하고 여기에 대답해야 할 진정한 질문이 있음을 보여 주며 문제가 무엇인지 정확하게 보여줍니다. 각 접근법은 독자적인 균일 변수의 합의 확률 분포 함수의 형태의 본질에 대한 고유 한 방식으로 자체적 인 방식을 제공합니다.

배경

균일 분포는 $[0,1]$ 몇몇 기본적인 설명을 갖는다. 가 그러한 분포를 가질 때 $X$

기회 것을 측정 가능한 설정에 거짓말 단지 측정 (길이)입니다 , 서면. $X$ $A$ $A \cap [0,1]$ $|A \cap [0,1]|$
이것으로부터 누적 분포 함수 (CDF)는

$F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = | (- \infty, x] \cap [0, 1] | = | [0, min (x, 1)] | = \begin{array}{ll} {\begin{cases} 0 & x < 0 \\ x & 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & x > 1. \end{cases} \end{array}$ $F_X(x) = \Pr(X \le x) = |(-\infty, x] \cap [0,1]| = |[0,\min(x,1)]| = \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x\lt 0 \\ x & 0\leq x\leq 1 \\ 1 & x\gt 1. \end{array}\right. \end{array}$
CDF를 유도체의 확률 밀도 함수 (PDF)를이다 대 및 그렇지. ( 과 정의되어 있지 않습니다 .) $f_X(x) = 1$ $0 \le x \le 1$ $f_X(x)=0$ $0$ $1$

특성 함수의 직감 (분석)

임의의 변수 의 특징 함수 (CF)는 의 기대 값입니다 (여기서 는 허수 단위, ). 균일 분포의 PDF를 사용하여 계산할 수 있습니다 $X$ $\exp(i t X)$ $i$ $i^2=-1$

ϕ_{X} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \exp (i t x) f_{X} (x) d x = \int_{0}^{1} \exp (i t x) d x = {\frac{\exp (i t x)}{i t} |}_{x = 0}^{x = 1} = \frac{\exp (i t) - 1}{i t} .

$\phi_X(t) = \int_{-\infty}^\infty \exp(i t x) f_X(x) dx = \int_0^1 \exp(i t x) dx = \left. \frac{\exp(itx)}{it} \right|_{x=0}^{x=1} = \frac{\exp(it)-1}{it}.$

CF는 PDF의 (푸리에 버전) 입니다. 푸리에 변환에 대한 가장 기본적인 정리는 다음과 같습니다. $\phi(t) = \hat{f}(t)$

독립 변수 의 CF는 CF 의 곱 입니다. $X+Y$
원본 PDF 가 연속적이고 가 된 경우, 밀접하게 연관된 푸리에 변환 버전을 통해 CF 에서 를 복구 할 수 있습니다 . $f$ $X$ $f$ $\phi$

f (x) = \overset{ˇ}{ϕ} (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- i x t) ϕ (t) d t .

$f(x) = \check{\phi}(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp(-i x t) \phi(t) dt.$

경우 미분, 그 유도체는 적분 기호에 따라 계산 될 수있다 : $f$

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- i x t) ϕ (t) d t = \frac{- i}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} t \exp (- i x t) ϕ (t) d t .$ $f'(x) = \frac{d}{dx} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp(-i x t) \phi(t) dt = \frac{-i}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty t \exp(-i x t) \phi(t) dt.$
이것을 명확하게 정의하려면 마지막 적분이 절대적으로 수렴되어야합니다. 그건,

$\int_{- \infty}^{\infty} | t \exp (- i x t) ϕ (t) | d t = \int_{- \infty}^{\infty} | t | | ϕ (t) | d t$ $\int_{-\infty}^\infty |t \exp(-i x t) \phi(t)| dt = \int_{-\infty}^\infty |t| |\phi(t)| dt$
유한 값으로 수렴해야합니다. 반대로, 수렴 할 때 파생물은 이러한 반전 공식으로 인해 모든 곳에 존재합니다.

균일 한 변수 의 합계에 대한 PDF가 얼마나 다른지 정확히 알 수 있습니다. 첫 번째 글 머리표에서 iid 변수의 합계의 CF는 제곱으로 올린 변수 중 하나의 CF입니다 . 여기서 . 분자는 묶이고 (사인파로 구성됨) 분모는 입니다. 이러한 정수에 곱할 수 있으며 때는 절대적으로 수렴하고 때는 조건부로 수렴합니다 . 따라서 세 번째 글 머리 기호를 반복 적용하면 균일 변량 합계에 대한 PDF 가 계속 임을 알 수 있습니다. $n$ $n^\text{th}$ $(\exp(i t) - 1)^n / (i t)^n$ $O(t^{n})$ $t^{s}$ $s \lt n-1$ $s = n-1$ $n$ $n-2$ 대부분의 경우, 배 차이 가 나올 것 입니다. $n-1$

n = 10에 대한 CF

파란색 음영 곡선은 iid 균일 변량 의 합의 CF의 실제 부분의 절대 값에 대한 로그-로그 플롯입니다 . 빨간색 점선은 점근선입니다. 그것의 기울기는 이며, PDF는 배의 차이를 나타냅니다. 참고로, 회색 곡선은 유사한 모양의 가우스 함수 (일반 PDF)에 대해 CF의 실제 부분을 플로팅합니다. $n=10$ $-10$ $10 - 2 = 8$

확률에서 직감

하자 및 독립적 인 랜덤 변수 일 수 균일 갖는다 분포. 좁은 간격 고려하십시오 . 우리는 가 가이 간격에 충분히 근접 할 확률과 가 딱 맞는 크기 일 확률을 분해합니다. 가 충분히 가까워 지면이 간격에 를 배치합니다 . $Y$ $X$ $X$ $[0,1]$ $(t, t+dt]$ $X+Y \in (t, t+dt]$ $Y$ $X$ $X+Y$ $Y$

\begin{aligned} f_{X + Y} (t) d t = & Pr (X + Y \in (t, t + d t]) \\ = Pr (X + Y \in (t, t + d t] | Y \in (t - 1, t + d t]) Pr (Y \in (t - 1, t + d t]) \\ = Pr (X \in (t - Y, t - Y + d t] | Y \in (t - 1, t + d t]) (F_{Y} (t + d t) - F_{Y} (t - 1)) \\ = 1 d t (F_{Y} (t + d t) - F_{Y} (t - 1)) . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(t) dt = &\Pr(X+Y\in (t,t+dt])\\ & = \Pr(X+Y\in (t,t+dt] | Y \in (t-1, t+dt]) \Pr(Y \in (t-1, t+dt]) \\ & = \Pr(X \in (t-Y, t-Y+dt] | Y \in (t-1, t+dt]) \left(F_Y(t+dt) - F_Y(t-1)\right) \\ & = 1 dt \left(F_Y(t+dt) - F_Y(t-1)\right). }$

최종 평등은 의 PDF에 대한 표현식에서 비롯됩니다 . 에 의해 양쪽을 분할 과 같은 한계를 가지고 제공 $X$ $dt$ $dt\to 0$

f_{X + Y} (t) = F_{Y} (t) - F_{Y} (t - 1) .

$f_{X+Y}(t) = F_Y(t) - F_Y(t-1).$

즉, 균일 한 추가 변수 에 어떤 변수 PDF 파일 변경 구별 지워진 CDF에 . PDF는 CDF의 파생이므로, 독립적 인 균일 변수를 추가 할 때마다 결과 PDF가 이전보다 한 번 더 차별화 될 수 있음을 의미합니다. $[0,1]$ $X$ $Y$ $f_Y$ $F_Y(t) - F_Y(t-1)$ $Y$

균일 한 변수 시작하여이 통찰력을 적용 해 봅시다 . 원본 PDF는 또는 에서 구별 할 수 없습니다. 불 연속적입니다. 의 PDF는 , 또는 에서 구별 할 수 없지만 의 PDF의 적분의 차이이기 때문에 해당 시점에서 연속적이어야합니다 . 또 다른 독립적 인 균일 한 변수 추가 :의 PDF 이다 의 미분 , , 및 이 필요하지 않습니다 - 그러나 두 번째 $Y$ $0$ $1$ $Y+X$ $0$ $1$ $2$ $Y$ $X_2$ $Y+X+X_2$ $0$ $1$ $2$ $3$ 그 시점에서 파생 상품. 등등.

기하학에서 직감

CDF에서 의 합 IID 균일 variates는 단위 하이퍼 큐브의 부피와 동일 반 공간 내에 누워 . 변동에 대한 상황 이 여기에 표시되며 는 , , 됩니다. $t$ $n$ $[0,1]^n$ $x_1+x_2+\cdots+x_n \le t$ $n=3$ $t$ $1/2$ $3/2$ $5/2$

3D 큐브

가 에서 까지 진행 함에 따라 , 초평면 는 , 에서 정점을 교차합니다 . 매번 단면의 모양이 바뀝니다. 그림에서 먼저 삼각형 ( -simplex), 육각형, 삼각형입니다. 이러한 값에서 PDF가 왜 급격하게 구부러지지 않습니까? $t$ $0$ $n$ $H_n(t): x_1+x_2+\cdots+x_n=t$ $t=0$ $t=1, \ldots, t=n$ $2$ $t$

이를 이해하려면 먼저 작은 값 고려하십시오 . 여기서, 초평면 는 심플 렉스를 차단한다 . 단면의 모든 치수는 직접 비례 하지만 "면적"은 비례합니다 . 이것에 대한 일부 표기법은 나중에 유용 할 것입니다. "단위 단계 함수"라고 합시다. $t$ $H_n(t)$ $n-1$ $n-1$ $t$ $t^{n-1}$ $\theta$

θ (x) = \begin{array}{ll} {\begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x \geq 0. \end{cases} \end{array}

$\theta(x) = \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x \lt 0 \\ 1 & x\ge 0. \end{array}\right. \end{array}$

하이퍼 큐브의 다른 모서리가 존재하지 않으면이 스케일링은 무한정 계속됩니다. -simplex 영역의 플롯은 아래의 파란색 곡선처럼 보입니다. 음수 값은 0이고긍정적으로, 편리하게 쓰여진. 차수 통한 모든 도함수 가 존재하고 연속적 이라는 점에서 차수 의 "친족"을 가지지 만, 차수 의 왼쪽 및 오른쪽 도함수가 존재하지만 원점에 동의하지 않음 . $n-1$ $t^{n-1}/(n-1)!$ $\theta(t) t^{n-1}/(n-1)!$ $n-2$ $n-3$ $n-2$

(이 그림에 표시된 다른 곡선은 (빨간색), (금) 및 (검정). 경우의 역할에 대해서는 아래에서 자세히 설명합니다.) $-3\theta(t-1) (t-1)^{2}/2!$ $3\theta(t-2) (t-2)^{2}/2!$ $-\theta(t-3) (t-3)^{2}/2!$ $n=3$

간단한 면적 플롯

교차 할 때 발생하는 상황을 이해 하기 위해 모든 기하가 평면에서 발생 하는 경우 를 자세히 살펴 보겠습니다 . 다음과 같이 단위 "큐브"(현재 사각형) 를 사분면 의 선형 조합 으로 볼 수 있습니다. $t$ $1$ $n=2$

사분면

첫 번째 사분면은 왼쪽 하단 패널에 회색으로 나타납니다. 의 값 은 이며, 5 개의 패널 모두에 표시된 대각선을 결정합니다. CDF는 오른쪽에 표시된 노란색 영역과 같습니다. 이 노란색 영역은 다음으로 구성됩니다. $t$ $1.5$

왼쪽 하단 패널의 삼각형 회색 영역
왼쪽 상단 패널의 삼각형 녹색 영역을 뺀 값
마이너스 낮은 가운데 패널에서 삼각형 빨간색 영역,
상단 가운데 패널에 파란색 영역을 더한 경우 (그러나 그러한 영역이 없거나 가 초과 할 때까지는 없음 ). $t$ $2$

이 영역은 모두 삼각형의 영역입니다. 첫 번째는 와 같이 스케일링 되고, 다음 두 개는 대해 0 이고 그렇지 않으면 와 같이 스케일링 되고 마지막은 대해 0입니다 이고 그렇지 않으면 과 같이 조정 됩니다. 이 기하학적 분석은 CDF가 = ; 마찬가지로 PDF는 세 함수 , 및 의 합에 비례합니다 $2^n=4$ $t^n=t^2$ $t\lt 1$ $(t-1)^n = (t-1)^2$ $t\lt 2$ $(t-2)^n$ $\theta(t)t^2 - \theta(t-1)(t-1)^2 - \theta(t-1)(t-1)^2 + \theta(t-2)(t-2)^2$ $\theta(t)t^2 - 2 \theta(t-1)(t-1)^2 + \theta(t-2)(t-2)^2$ $\theta(t)t$ $-2\theta(t-1)(t-1)$ $\theta(t-2)(t-2)$ (각각 때 선형으로 스케일링 됨 ). 이 그림의 왼쪽 패널은 그래프를 보여줍니다. 분명히 그래프는 모두 원래 그래프 버전 이지만 (a) , 및 단위 오른쪽으로 이동하고 (b) 스케일 , 및 입니다. $n=2$ $\theta(t)t$ $0$ $1$ $2$ $1$ $-2$ $1$

n = 2에 대한 그래프

오른쪽 패널에는 이러한 그래프의 합계 (단일 검은 색 곡선, 단위 면적을 갖도록 정규화 됨)가 있습니다. 이것은 원래 질문에 표시된 각도 모양의 PDF입니다.

이제 우리는 iid 균일 변수의 합계에 대한 PDF의 "kinks"의 특성을 이해할 수 있습니다. 그것들은 모두 함수 에서 에서 발생하는 "kink"와 정확히 같으며 , 크기가 재조정되고 정수 로 이동했습니다. 는 하이퍼 큐브의 정점을 교차합니다. 를 들어 ,이 방향에서의 표시 변화 : 오른쪽 유도체 에서 이고 의 왼쪽 유도체 인 반면 . 를 들어 , 이는 인 연속 $0$ $\theta(t)t^{n-1}$ $1,2,\ldots, n$ $H_n(t)$ $n=2$ $\theta(t)t$ $0$ $0$ $1$ $n=3$ 방향의 변화, 그러나 이차 미분의 갑작스런 (불연속적인) 변화. 일반적으로 경우 차수 통해 연속 도함수가 있지만 도함수 에서 불연속성이 있습니다. $n$ $n-2$ $n-1^\text{st}$

대수 조작의 직관

CF를 계산하기위한 통합, 확률 론적 분석에서 조건부 확률의 형태, 사분면의 선형 조합으로서 하이퍼 큐브의 합성은 모두 원래의 균일 한 분포로 돌아가서 더 간단한 것들의 선형 조합으로 다시 표현하는 것을 제안합니다 . 실제로 PDF를 작성할 수 있습니다

f_{X} (x) = θ (x) - θ (x - 1) .

$f_X(x) = \theta(x) - \theta(x-1).$

시프트 연산자 소개합시다 : 그래프를 한 단위 오른쪽으로 이동시켜 모든 함수 에 작용합니다 : $\Delta$ $f$

(Δ f) (x) = f (x - 1) .

$(\Delta f)(x) = f(x-1).$

공식적으로, 균일 변수 의 PDF에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $X$

f_{X} = (1 - Δ) θ .

$f_X = (1 - \Delta)\theta.$

유니폼 유니폼 의 PDF는 와 번의 컨벌루션입니다 . 이는 임의의 변수의 합의 정의에 따른 것 입니다. 두 함수 와 의 컨벌루션 은 함수입니다. $n$ $f_X$ $n$ $f$ $g$

(f ⋆ g) (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) g (y) d y .

$(f \star g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y) dy.$

컨볼 루션이 통근하는지 쉽게 확인할 수 있습니다. 적분 변수를 에서 변경하십시오 . $\Delta$ $y$ $y+1$

\begin{aligned} (f ⋆ (Δ g)) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) (Δ g) (y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) g (y - 1) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f ((x - 1) - y) g (y) d y \\ = (Δ (f ⋆ g)) (x) . \end{aligned}

$\eqalign{ (f \star (\Delta g)) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)(\Delta g)(y) dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y-1) dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f((x-1)-y)g(y) dy \\ &= (\Delta (f \star g))(x). }$

iid 유니폼 의 합계 PDF를 위해 , 이제 대수적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $n$

f = f_{X}^{⋆ n} = ((1 - Δ) θ)^{⋆ n} = (1 - Δ)^{n} θ^{⋆ n}

$f = f_X^{\star n} = ((1 - \Delta)\theta)^{\star n} = (1-\Delta)^n \theta^{\star n}$

(여기서 "power"는 점으로 곱하기가 아니라 반복 된 회선을 나타냅니다!). 이제 은 직접적인 기본 통합으로 $\star n$ $\theta^{\star n}$

θ^{⋆ n} (x) = θ (x) \frac{x^{n - 1}}{n - 1!} .

$\theta^{\star n}(x) = \theta(x) \frac{x^{n-1}}{{n-1}!}.$

이항 정리가 적용되기 때문에 나머지는 대수학입니다 (실제에 대한 모든 대수적 대수에서와 같이).

f = (1 - Δ)^{n} θ^{⋆ n} = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) Δ^{i} θ^{⋆ n} .

$f = (1-\Delta)^n \theta^{\star n} = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} \Delta^i \theta^{\star n}.$

단순히 에 의해 인수를 이동시키기 때문에 , 이것은 우리가 기하학적으로 추론 한 것과 같이 PDF 를 의 이동 된 버전의 선형 조합으로 나타냅니다 : $\Delta^i$ $i$ $f$ $\theta(x) x^{n-1}$

f (x) = \frac{1}{(n - 1)!} \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) (x - i)^{n - 1} θ (x - i) .

$f(x) = \frac{1}{(n-1)!}\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} (x-i)^{n-1}\theta(x-i).$

(John Cook은 나중에 블로그 게시물에서 표기법 을 사용하여이 공식을 인용합니다 .) $(x-i)^{n-1}_+$ $(x-i)^{n-1}\theta(x-i)$

따라서 은 모든 곳에서 부드러운 함수 이기 때문에 PDF의 특이한 동작은 가 특이한 곳 (명확하게는 )과 오른쪽으로 만큼 이동 한 곳에서만 발생합니다. . 따라서 그 특이한 행동 (매끄러움 정도)의 특성은 모든 위치 에서 동일 합니다. $x^{n-1}$ $\theta(x)$ $0$ $1, 2, \ldots, n$ $n+1$

이 그림은 의 그림 으로, 왼쪽 패널에서 합계의 개별 항과 오른쪽 패널에서 부분 합계를 나타내며 합계 자체에서 끝이납니다 (검은 색 곡선). $n=8$

n = 8에 대한 플롯

결산 의견

이 마지막 접근 방식은 최종적으로 여러 균일 한 균일 변수 의 PDF를 계산하기위한 작고 실용적인 표현을 산출했음을 주목하는 것이 유용 합니다. (CDF에 대한 공식은 유사하게 얻어진다.) $n$

중앙 한계 정리는 여기서 거의 말할 것이 없습니다. 결국 iid 이항 변수 의 합은 정규 분포로 수렴되지만 그 합은 항상 이산입니다. PDF조차 전혀 없습니다! 우리는 CLT에서 나온 "kinks"또는 PDF의 차별화 가능성에 대한 직관을 기 대해서는 안됩니다.

— 우버
소스

(+1) 환상적인! 자,이 모든 것을 하나로 묶는 데 얼마나 걸렸습니까?!

— 추기경

@Cardinal 이것은 지난 월요일 정전이 발생하기 전에 읽은 마지막 질문이었습니다. 계속되는 주 동안, 길고 어두운 저녁은 :-)를 통해 그것을 생각하고 오락을 위해 여러 가지 답을 개발할 기회를 제공했습니다. 지난 주말에 권력이 회복 된 후, 삽화를 만들고 그것을 모두 쓸 시간을 찾는 것이 문제였습니다 (예상보다 오래 걸렸습니다). 이 스레드 중 일부가 임의의 변수 합계에 대한 관련 향후 질문에 대한 참조로 사용될 수 있기를 바랍니다.

— whuber

와. 이 답변을 '좋아할'수 있기를 바랍니다 .

— Rhubbarb

whuber, 이것은 절대적으로 훌륭합니다. 나는 그런 간단한 질문이 얼마나 깊은 지 몰랐습니다. 답을 구하는 데 시간이 좀 걸리 겠지만 지금은 정말 감사합니다!

— tetragrammaton

나는 말함으로써, 의견에 SE 정책을 위반하는 것 우리 :) 더 자주 전원 차단에 전력 회사에게 뇌물을해야합니다 (crossvalidate.com의 모든)

— mpiktas

균일 랜덤 변수의 확률 밀도 함수가 유한하다고 주장 할 수 있습니다.

따라서 균일 한 랜덤 변수의 누적 밀도 함수가 적분입니다.

따라서 두 개의 균일 한 랜덤 변수의 합의 확률 밀도 함수는 연속적입니다.

따라서 두 개의 균일 한 랜덤 변수의 합의 누적 밀도 함수가 완벽합니다 (연속 미분 가능).

따라서 3 개의 균일 한 랜덤 변수의 합의 확률 밀도 함수가 부드럽습니다.

— 헨리
소스

더 놀라운 것은 의 급격한 피크를 얻는 것입니다 . $n=2$

중앙 한계 정리 (Central Limit Theorem)는 충분히 큰 표본 크기의 경우 평균의 분포 (및 합은 평균 시간 , 각 그래프에 대해 고정 상수 임)는 대략 정상 이라고 말합니다 . 균일 분포는 CLT (대칭, 두꺼운 꼬리 (많은 꼬리가 많지 않음), 특이 치의 가능성 없음)와 관련하여 실제로 잘 작동하므로 균일 한 경우 표본 크기는 "충분히 커야합니다" "는 그리 크지 않습니다 (좋은 근사치의 경우 약 5 또는 6) . 에서 이미 OK 근사치를보고 있습니다. $n$ $n=3$

— 그렉 스노우
소스