Var (X)를 알고 있는데 Var (1 / X)를 계산하는 방법은 무엇입니까?

만있는 경우 어떻게 계산할 수 있습니까? $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$

분포에 대한 정보 가 없으므로 변환 또는 확률 분포를 사용하는 다른 방법을 사용할 수 없습니다 . $X$ $X$

distributions variance data-transformation

— 쥐
소스

나는 생각 이 당신에게 도움이 될 수 있습니다.

— Christoph_J

불가능하다.

무작위 변수 의 시퀀스 을 고려하십시오 . $X_n$

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

그때:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

그러나 는 이 무한대 로 가면서 0에 접근합니다 . $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

이 예는 사실 사용 번역 하에서 불변 있지만 아니다. $\Var(X)$ $X$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

그러나 이라고 가정하더라도 계산할 수 없습니다 . $\mathrm{E}(X)=0$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

과

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

그런 다음 은 이 무한대로 갈 때 1에 접근 하지만 모든 대해 입니다 . $\Var(X_n)$ $n$ $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— 모그 론
소스

Taylor 계열을 사용하여 변형 된 랜덤 변수의 하위 모멘트를 근사화 할 수 있습니다. 분포가 평균 (특히 어떤 의미에서) 주위에 상당히 꽉 조여 있으면 근사치가 꽤 좋을 수 있습니다.

예를 들어

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

그래서

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

종종 첫 번째 용어 만 사용됩니다

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

이 경우 (실수하지 않았다고 가정) , . $g(X)=\frac{1}{X}$ $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia : 임의 변수의 기능 순간에 대한 Taylor 확장

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이것을 설명하는 몇 가지 예. R에 두 개의 (감마 분포) 샘플을 생성합니다. 하나는 평균에 대해 '너무 조밀하지 않은'분포를 가지고 있고 하나는 조금 더 빡빡합니다.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

근사값은 의 분산이 가까워 야 함을 나타 $1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

대수 계산에 따르면 실제 모집단 분산은 $1/648 \approx 0.00154$

더 단단한 것을 위해 :

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

근사값은 의 분산이 가까워 야 함을 나타 $1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

대수 계산에 따르면 역수의 모집단 분산은 입니다. $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

이 경우, 매우 약한 가설로 인해 대한 평균 (분산) 이 존재 하지 않는다는 결론에 도달 할 수 있습니다. :-) 가설의 예는 가 0 주위의 간격으로 연속적인 밀도 를 가지며 입니다. 그런 다음 일부 간격 에서 밀도가 0에서 멀어지기 때문에 결과가 이어집니다 . 방금 주어진 가설이 가장 약한 것은 아닙니다.

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$

— 추기경

Taylor 계열 인수가 실패하는 이유는 가 나머지 (오류) 항을 숨기고 (이 경우 숨기 때문 입니다. 주위에서 잘못 동작 합니다.

\approx

$\approx$

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$

x = 0

$x = 0$

— 추기경

실제로 0 근처의 밀도의 거동에주의해야합니다. 위의 감마 예제에서 역 분포는 역 감마입니다. 유한 평균을 갖는 경우 ( 는 모양 매개 변수입니다. 우리가 뒤집는 감마). 두 예제는 및 입니다. 그럼에도 불구하고 (반전을위한 "좋은"분포) 높은 용어를 무시하면 눈에 띄는 편견이 생길 수 있습니다.

α > 1

$\alpha>1$

α

$\alpha$

α = 10

$\alpha = 10$

α = 100

$\alpha = 100$

— Glen_b-복지 주 모니카

상호 대신 상호 표준 정규 분포의 정규 분포를 이동의이, 올바른 방향으로 보인다 en.wikipedia.org/wiki/...

— 펠리페 G. Nievinski에게