평균과 분산이 독립적 인 정규 분포 이외의 분포

평균과 분산이 서로 독립적 인 정규 분포 외에 (즉, 분산이 평균의 함수가 아닌 경우) 분포가 있는지 궁금합니다.

distributions

— 볼프강
소스

질문을 올바르게 이해했는지 잘 모르겠습니다. 평균과 분산으로 완전히 지정된 정규 분포와 다른 분포가 있는지 묻고 있습니까? 어떤 의미에서, 분산은 평균 주위의 분산 측정치이므로 평균의 함수이지만 이것이 당신이 생각한 것이 아니라고 생각합니다.

샘플 평균

및 표본 분산

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

는 독립적입니다. 좋은 질문 ! 가우스 랜덤 변수를 투영하면 독립성을 유지할 수 있습니까?

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

— 로빈 지라드

Srikant가 옳습니다. 질문에 "샘플 평균 및 분산"에 대한 질문이 있으면 "아니오"입니다. 질문이 인구 평균과 분산에 관한 것이라면 대답은 그렇습니다. 다윗은 아래에 좋은 예를 제시합니다.

명확히하기 위해, 내가 의미하는 것은 이것입니다. 정규 분포의 경우 평균

및 분산

는 분포를 완전히 특성화하고

는

의 함수가 아닙니다 . 다른 많은 배포판의 경우에는 그렇지 않습니다. 예를 들어, 이항 분포의 경우 평균

및 분산

이 있으므로 분산은 평균의 함수입니다. 다른 예는 매개 변수

(스케일) 및

(모양)을 갖는 감마 분포 이며, 평균은

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$ 분산은

이므로 분산은 실제로

입니다.

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$

— 볼프강

그러면 귀하가 선호하는 답변으로 확인한 답변이 해당 질문에 대한 답변으로 답변되지 않으므로 다른 답변에 대해서는 답변하지 않기 때문에 질문을 수정하십시오 . 현재 "독립적"이라는 단어를 특이한 방식으로 사용하고 있습니다. Gamma를 사용한 예는 이것을 보여줍니다. 우리는 theta = sigma / mu 및 kappa = mu ^ 2 / sigma를 복구 할 수 있기 때문에 Gamma를 평균 (mu) 및 분산 (sigma)으로 다시 매개 변수화 할 수 있습니다. 다시 말해, 매개 변수의 기능적 "독립성"은 일반적으로 의미가 없습니다 (단일 매개 변수 패밀리 제외).

— whuber

답변:

참고 : @G의 답변을 읽으십시오. Jay Kerns, Carlin and Lewis 1996 또는 랜덤 변수의 예상 값 및 두 번째 모멘트로서 평균 및 분산 계산에 대한 배경 지식을 얻기 위해 선호하는 확률 참조를 참조하십시오.

Carlin and Lewis (1996)의 부록 A에 대한 빠른 스캔은 평균과 분산의 계산에 동일한 분포 매개 변수가 사용되지 않는다는 점에서 정규과 관련하여 다음과 같은 분포를 제공합니다. @robin이 지적한 것처럼 표본에서 모수 추정치를 계산할 때 시그마를 계산하려면 표본 평균이 필요합니다.

다변량 법선

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = Σ

$Var(X) = \Sigma$

t 와 다변량 t :

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

더블 지수 :

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

코시 (Cauchy) : 어떤 자격으로 코시 의 평균과 분산은 의존적이지 않다고 주장 할 수있다.

$E(X)$ $Var(X)$

참고

Carlin, Bradley P. 및 Thomas A. Louis. 1996. 베이 및 실증 베이 데이터 분석 방법, 제 2 판. 채프먼과 홀 / CRC, 뉴욕

— 데이비드 르 바우어
소스

에서 어떤 위치 규모의 가족 평균과 분산이 방식으로 기능적으로 독립이 될 것이다!

— whuber

David, 이중 지수는 훌륭한 예입니다. 감사! 나는 그 것을 생각하지 않았다. t- 분포도 좋은 예이지만 E (X) = 0이고 Var (X) = v / (v-2)가 아닙니까? 또는 Carlin et al. (1996)은 t- 분포의 일반화 된 버전을 시그마 ^ 2?

— Wolfgang

맞습니다, t- 분포는 평균 = 0이고 분산 = 1로 자주 특성화되는 것처럼 보이지만 Carlin과 Louis가 제공 한 t에 대한 일반 pdf에는 시그마와 mu가 모두 명시 적으로 포함되어 있습니다. nu 매개 변수는 법선과 t의 차이를 설명합니다.

— David LeBauer

실제로 대답은 "아니오"입니다. 표본 평균과 분산의 독립성은 정규 분포를 나타냅니다. 이것은 유진 루카치 스 (Eugene Lukacs)가 "정규 분포의 특성 분석", 수학 통계 연재, Vol. 13, No. 1 (1942 년 3 월), 91-93 쪽.

나는 이것을 몰랐지만 펠러는 "확률 이론 및 그 응용에 대한 소개, 제 2 권"(1966, pg 86)은 RC Geary도 이것을 증명했다고 말한다.

@onestop 나는 그것이 내 시대의 불행한 유물이라고 생각합니다. Feller의 책이 전 세계적으로 확률이 어떻게 변화했는지에 대해 말하는 것은 과언이 아닙니다. 우리의 현대 표기법의 대부분은 그 때문입니다. 수십 년 동안, 그의 책이었다 연구에 확률 책. 어쩌면 그들은 여전히 있어야합니다. BTW : 나는 그의 책을 듣지 못한 사람들을 위해 제목을 추가했습니다.

본인은 funy 특성 ...에 대한 질문 aske이 stats.stackexchange.com/questions/4364/...

— 로빈 지라

Jay는 Lukacs의 논문을 참조 해 주셔서 감사합니다. 샘플의 평균 분포와 분산의 분포는 정규 분포에 대해서만 독립적임을 잘 보여줍니다. 두 번째 중심 모멘트의 경우 첫 번째 모멘트의 기능이 아닌 분포가 있습니다 (David가 좋은 예를 들었습니다).

— 볼프강

Geary, RC (1936), "비정규 표본에 대한 '학생'비율 분포", Royal Statistical Society, Suppl. 3, 178–184.

— vqv