순위가 상관되어있는 경우에만 무작위 변수가 상관되어 있습니까?

$X,Y$ 는 유한 한 두 번째 모멘트를 갖는 연속 랜덤 변수라고 가정합니다 . 스피어 만 순위 상관 계수의 인구 버전 확률 적분 값의 변환의 피어슨 적률 계수 ρ로 정의 될 수 과 , CDF를 년대있는 및 , 즉 $ρ_s$ $F_X(X)$ $F_Y(Y)$ $F_X,F_Y$ $X$ $Y$

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$ .

나는 일반적으로 결론을 내릴 수 있는지 궁금합니다.

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$ ?

즉, 순위간에 선형 상관 관계가있는 경우에만 선형 상관 관계가 있습니까?

업데이트 : 의견에서 두 가지 예가 제공됩니다.

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

와 의 분포가 동일 하더라도 일반적으로 사실이 아닙니다 . 따라서 질문은 다음과 같이 재구성되어야합니다. $X$ $Y$

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$ ?

와 가 같은 분포를 갖는 경우 이것이 참 / 거짓인지 여부도 나에게 큰 관심이된다 . $X$ $Y$

(참고 : 와 가 양의 사분면에 의존합니다. 즉, 이면 Hoeffding의 공분산 공식 는 및 됩니다.) $X$ $Y$ $δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$ $Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$ $ρ(X,Y)>0$ $ρ(F(X),F(Y))>0$

correlation pearson-r spearman-rho

— FSpanhel
소스

힌트 : 답을 얻으려면 임의의 엄격하게 단조로운 변환에서 각 상관 관계 측정에 어떤 일이 발생하는지 생각해보십시오.

— 추기경

@ cardinal : 글쎄, 스피어 맨의 rho는 엄격하게 단조로운 변환에서 변하지 않습니다. 고전 선형 상관 계수가 변경되지만 그 방법 (?)이 명확하지 않습니다. 특히 선형 상관 값이 0에서 엄격하게 단조로운 변환에서 0이 아닙니다 ...하지만 아마도 당신의 요점을 놓쳤습니까?

— FSpanhel

당신은 올바른 길을 가고 있습니다! 이고 이라고합시다 . 이제이 두 가지의 단조로운 변환을 살펴보십시오. 명시 적으로 확인하지는 않았지만 가 작동 할 가능성이 있습니다.

X \sim N (0, 1)

$X \sim \mathcal{N}(0,1)$

Y = X^{2}

$Y = X^2$

g (z) = \exp (- z / 2)

$g(z) = \exp(-z/2)$

— 추기경

당신은 맞습니다. 두 번째 예는 내가 의도 한 것 / 의심 한대로 작동하지 않습니다. 그러나 이러한 반례를 구성하는 방법에 대한 일반적인 원칙은 여전히 유효합니다. 그렇습니다.이 문제는 copulas와 밀접하게 연결될 수 있습니다. :-)

— 추기경

반례를 확인한 후에는이 게시물에 대한 답변으로 작성해보십시오. 기꺼이 찬성하겠습니다. 건배.

— 추기경

상관 관계가 0이 아니더라도 데이터, 특히 극단적 인 데이터에 '가중치'가 다르기 때문에 다른 것에 대해 많은 것을 알려주지는 않습니다. 나는 단지 샘플을 가지고 놀려고하지만, 비슷한 예는 이변 량 분포 / copulas로 구성 될 수 있습니다.

1. Spearman correlation 0은 Pearson correlation 0을 의미하지 않습니다 .

이 질문에서 언급했듯이, 의견에는 예가 있지만 기본 구조는 "스피어 맨 상관 관계가 0 인 경우를 구성한 다음 극단적 인 지점을 취하여 스피어 맨 상관 관계를 변경하지 않고 더 극단적으로 만듭니다"입니다.

의견의 예는 그 점을 잘 설명하지만 여기서는 더 '무작위'예제로 재생하려고합니다. 따라서 Spearman과 Pearson 상관 관계가 모두 0 인이 데이터 (R)를 고려하십시오.

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

이제 y [12]에 1000을 더하고 x [9]에서 0.6을 빼십시오. Spearman 상관 관계는 변경되지 않았지만 Pearson 상관 관계는 이제 0.1841입니다.

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(Pearson 상관 관계에서 강력한 의미를 원한다면 전체 샘플을 여러 번 복제하십시오.)

2. Pearson 상관 관계 0은 Spearman 상관 관계 0을 의미하지 않습니다 .

다음은 Pearson 상관 관계가 0이지만 Spearman 상관 관계가 0이 아닌 두 가지 예입니다 (이 Spearman 상관 관계에 대한 중요성을 높이려면 전체 샘플을 여러 번 복제하십시오).

예 1 :

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699

포물선의 점은 0 Pearson을 제공하지만 0이 아닌 Spearman 상관 관계를 제공합니다.

예 2 :

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

y = -x에있는 가장 작고 가장 큰 점을 제외하고 ay = x 선의 점

이 마지막 예에서, Pearson 상관 관계를 0으로 유지하기 위해 왼쪽 상단과 오른쪽 하단의 두 지점을 더 극단적으로 만들면서 y = x에 더 많은 점을 추가하여 Spearman 상관 관계를 강화할 수 있습니다.

— Glen_b-복귀 모니카
소스