변수가 완벽한 동시 의존성을 나타낼 때 다변량 중심 한계 정리 (CLT)가 유지됩니까?

$X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ $i = 1, ..., n$

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

동기 부여 : 질문에 대한 나의 동기 부여는 때 일 때 및 이 완벽하게 의존 한다는 것이 이상하다고 생각하지만 사실 다변량 CLT의 의미는 와 같이 독립성에 접근한다는 것입니다. (이것은 과 이 모든 과 상관 관계가 없기 때문에 이어질 것입니다 . 따라서 관절 정상이라면 이어야합니다). $S_n$ $T_n$ $n = 1$ $n \rightarrow \infty$ $S_n$ $T_n$ $n$

답변이나 의견에 미리 감사드립니다!

추신 : 당신이 참조 등을 제공 할 수 있다면 모든 것이 좋습니다!

— 콜린 T 바우어
소스

대답은 없지만 의견. 나는 이것이 매우 놀랍지 않다. n = 1에 대한 의존성은 n이 올라감에 따라 빠르게 감소합니다.

— 에릭

@egbutter는 훌륭한 답변을 제공했습니다. 여전히 대안이나 추가 직관을 찾고 있다면 핑과 나는 조금 다른 것을 쓰는 것에 대해 보게 될 것입니다.

— 추기경

@cardinal 제안에 대해 대단히 감사하지만,이 시점에서 나는 매우 기쁘다. 나는 egbutter에게 현상금을 수여했다. 나는 직감을 가지고 있다고 생각합니다. 글을 올릴 때의 주요 목적은 누군가 뛰어 들어 "아니오.

— 콜린 T Bowers

답변:

내가 당신의 q를 이해하는 짧은 대답은 "그렇지만 ..."입니다. S, T, 그리고 다른 순간들에 대한 수렴 속도는 반드시 같은 것은 아닙니다 . Berry-Esseen Theorem의 범위를 결정하는 것을 확인하십시오 .

내가 당신의 q를 이해하지 못하는 경우, Sn과 Tn은 약한 의존성 (혼합) 조건에서 CLT를 유지합니다 : 종속 프로세스에 대한 Wikipedia의 CLT를 확인하십시오 .

CLT는 일반적인 정리입니다 - 기본 증명은 더 이상 아무것도 필요하지 않습니다 특성 함수 , 다음 표준 정규의 특성 함수 주석과 테네시 수렴의 레비 연속성 정리가 특징적인 기능의 융합이 분포의 융합을 의미했다.

John Cook은 여기 에서 CLT 오류에 대한 훌륭한 설명을 제공합니다 .

— egbutter
소스

답변 해주셔서 감사합니다. 나는이 질문에 관한 한 수렴 속도 나 CLT가 더 일반적인 조건, 예를 들어 의존성에 영향을 미치는지에 대해서는 실제로 걱정하지 않는다. 내가 정말로 바랐던 것은 각 합계의 i 번째 구성 요소가 완벽한 동시 의존성을 나타낼 때 다변량 CLT 의 사용을 정당화하는 참조 또는 진술입니다 . 나는 Davidson의 "Stochastic Limit Theory"에서 다변량 CLT가 임의의 동시 의존성을 가지고 있다는 언급을 발견했지만 여전히 그 진술에 대해 약간의 엄격함을 찾고 있습니다.

— Colin T Bowers

당신이 이것을 너무 많이 생각하는 것 같습니다. [1, n]의 i가 당신이 말하는 "동시"구성 요소입니까? 그렇다면 중요한 점은 Sn과 Tn이 여전히 수렴한다는 것입니다 (위에서 언급 한 "오래된 학교"CLT 증명과 동일한 방법을 사용하여이를 직접 증명할 수 있음). 그러나 주어진 i의 경우 오류는 다를 수 있습니다. CLT가 보유하고 있다는 사실은 바뀌지 않습니다. 다변량 / 단 변량 구별은 중요하지 않습니다.

— egbutter

예, i는 동시 구성 요소입니다. 증명을 통해 예제를 실행하는 것에 대한 좋은 제안. 나는 실제로 이것을했고, 역설적으로 나를 더 긴장하게 만드는 문제를 찾지 못했습니다. 아마도 나는이 시점에서 일을 너무 많이 생각하고 있습니다 :-) 응답에 다시 한 번 감사드립니다. 하루가 끝날 때까지 아무도 대답에 균열이 없으면 답변을 답변으로 표시하겠습니다. 건배.

— Colin T Bowers 2018

나는 분명히 공감할 수있다. 나는 종종 같은 일을한다! :)

— egbutter

이것은 물론 아무것도 증명 하지는 못하지만 항상 이론적 결과를 이해하는 데 시뮬레이션과 플로팅 그래프를 작성하는 것이 매우 편리 하다는 것을 알았습니다.

이것은 특히 간단한 경우입니다. 랜덤 정규 변량을 생성 하고 및 계산합니다 . 번 반복하십시오 . 및 대한 그래프가 표시됩니다 . 증가함에 따라 의존성이 약 해지는 것을 쉽게 알 수 있습니다 . 에서 의 그래프는 독립 거의 구별 할 수있다. $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— 홍 오오이
소스