구리 밀도의 상한?

Fréchet-Hoeffding 상한 접합부 분포 함수에 적용하고이 주어진다

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

CDF 대신에 copula density 대한 상한 (마진 밀도에 의존한다는 의미) 상한이 있습니까? $c(u_1,...,u_d)$

모든 참조는 대단히 감사하겠습니다.

— 코폴라
소스

어떤 종류의 바운드를 찾고 있습니까? 실제 문제에 대한 설명이 도움이 될 수 있습니다. 기술적으로 대답은 두 가지 다른 방식으로 "아니오"입니다. (i) 밀도가 없을 수 있습니다 (!) 및 (b)있을 경우 측정 값을 0으로 변경하여 좋아해요 그러나 우리는 무언가를 알고 있습니다. 특히,

가 존재하고

가 변의 길이가

임의의 (하이퍼) 직사각형이라고 가정

c

$c$

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$

. 그런 다음, 확실히

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— 추기경

이 한계를 만족시키는 예제를 쉽게 만들 수 있기 때문에 말할 수있는 것이 너무 많지 않다고 생각합니다. 그러나 나는 그것에 대해 신중하게 생각하지 않았습니다.

— 추기경

@cardinal 귀하의 의견에 감사드립니다. 실제로, 나는 사소한 경우를 피하기 위해 밀도가 있다고 가정합니다. 한계 밀도 측면에서 상한을 찾고있었습니다. 나는 특히 가우스 copula에 관심이 있습니다.

— Coppola

그것이 copula 인 경우, 모든 한계 밀도는 일정합니다. 즉 일정한 함수입니다. :)

— 추기경

@ 추기경 사면 내 프랑스어. 내 질문을 다시 설명하겠습니다. (I에서 특히 관심) 가우시안 접합부가 주어진다

. 여기서

및

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$

. 예를 들어, 이것은 제품

의해 제한 될 수 없습니다. 그래서 나는 한계가있는 다른 상한을 찾고있었습니다. 그리고 물론, 나는 앞서 언급 한 경계와 관련하여보다 일반적인 방식으로 질문하려고했습니다. 막연한 말을 드려 죄송합니다.

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$

— Coppola

일반적으로 말하자면 없습니다. 예를 들어, 이변 량 가우시안 copula 경우 지수의 양은 (0,0)에 새들 포인트를 가지므로 두 방향으로 무한대로 폭발합니다. 실제로 제한된 범위의 copula 밀도를 발견하면 알려주십시오!

— 한킨
소스

"지수의 양"이 의미하는 바를 명확하게 설명해 주시겠습니까? "중철 점"의 존재는 가우스 분포의 표준 정의와 일치하지 않는 것 같습니다.

— whuber

@whuber 가우스 copula의 밀도는 표준 가우스가 아닙니다. 위의 coppola의 의견을 보면 가우시안 copula 밀도가

{아르 자형}^{- 1} - 나는

$R^{-1}-I$ 역공 분산 행렬을 기대할 수 있습니다. 역 공분산 행렬은 대칭 양의 반 정밀도 여야하지만, -I는 양수의 불확실성을 허용하므로 안장 점이됩니다. 현재 상태에서 변환 할 때 변수가 변경되어 존재합니다.

{아르 자형}^{엔}

$\mathbb{R}^n$ 에

[0, 1]^{엔}

$[0,1]^n$

— MHankin

예, 알고 있습니다. 그러나 귀하의 답변이 암시하는 것은 아닙니다. 이 copula는 상관 행렬에 의해 매개 변수화 됩니다

R

$R$ 그러나 그러한 경우

R

$R$ it's a function of the

x_{i}

$x_i$ only. As such it doesn't ever "explode to infinity". There are no valid correlation matrices

R

$R$ (that is, nondegenerate ones) for which this copula is unbounded. Those are the reasons I was requesting a clarification of your answer.

— whuber

@whuber I just emailed you an editable version of a more in depth writeup of my example. Let me know if you think it looks accurate, in which case I'll add it to my answer above. [read_only_version]{overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb}

— MHankin