이항 및 포아송 랜덤 변수의 합

두 개의 독립적 인 랜덤 변수 $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$ 및 가 있으면 의 확률 질량 함수는 무엇입니까?X 1 + X $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$$X_1 + X_2$

NB 이것은 나에게 숙제가 아니다.

, 0 ≤ k < n , k ≥ n에 대해 서로 다른 두 가지 공식으로 끝납니다 . 이 문제를 수행하는 가장 쉬운 방법은 ∑ n i = 0 p x 1 ( i ) z k 및 ∑ ∞ j = 0 p X 2 ( j ) z j 의 곱을 계산하는 것입니다 . 그런 다음 $p_{X_1+X_2}(k)$$0 \leq k < n$$k \geq n$$\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$$\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$는곱의zk계수입니다. 합계의 단순화는 불가능합니다.$p_{X_1+X_2}(k)$$z^k$

다른 답변에서 암시 된 일반화 된 초 기하 함수 (GHF) 측면에서 닫힌 공식을 제공합니다 (이 경우 GHF는 실제로 유한 다항식이므로 유한 합계의 약어입니다). 결과 :

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$$

Dilip Sarwate는 7 년 전 단순화가 불가능하다고 언급했지만, 이는 의견에서 도전을 받고있다. 그러나 단순화하지 않아도 스프레드 시트 또는 프로그래밍 언어에서 계산이 매우 간단하다는 점에 유의하는 것이 좋습니다.

다음은 R의 구현입니다.

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]