내가 얻은이 이산 분포 (재귀 차이 방정식)의 이름은 무엇입니까?

나는 컴퓨터 게임에서이 배포판을보고 그 동작에 대해 더 배우고 싶었다. 주어진 수의 플레이어 동작 후에 특정 이벤트가 발생해야하는지에 대한 결정에서 비롯됩니다. 이 이상의 세부 사항은 관련이 없습니다. 다른 상황에도 적용되는 것 같고 계산하기 쉽고 긴 꼬리를 만들기 때문에 흥미로 웠습니다.

모든 단계 에서, 게임은 균일 한 난수 합니다. 경우 , 이벤트가 트리거된다. 이벤트가 한 번 발생한 후 게임은 재설정 하고 시퀀스를 다시 실행합니다. 게임이 사용하는 배포판을 나타 내기 때문에이 문제에 대해 한 번만 발생하는 이벤트에 관심이 있습니다. (여러 발생에 대한 모든 질문은 단일 발생 모델로 답변 할 수 있습니다.) $n$ $0 \leq X < 1$ $X < p(n)$ $n = 0$

여기서 "비정상"은이 분포의 확률 매개 변수가 시간이 지남에 따라 증가하거나 다른 방식으로 임계 값이 시간이 지남에 따라 증가한다는 것입니다. 이 예에서는 선형으로 변경되지만 다른 규칙이 적용될 수 있다고 가정합니다. 단계 또는 사용자의 조치 후 $n$

p (n) = k n

$p(n) = kn$

어떤 정수에 대하여, . 특정 시점에서 이면 됩니다. 해당 단계에서 이벤트가 발생하도록 보장됩니다. $0 < k < 1$ $n_{\max}$ $p(n_{\max}) \geq 1$

나는 그것을 결정할 수 있었다

f (n) = p (n) [1 - F (n - 1)]

$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$ 및

F (n) = p (n) + F (n - 1) [1 - p (n)]

$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$ PMF

f (n)

$f(n)$ 및 CDF

F (n)

$F(n)$ . 간단히 말해서,

n

$n$ 번째 단계 에서 이벤트가 발생할 확률은

확률과 같으며

p (n)

$p(n)$ , 이전 단계에서 이미 발생한 확률이 적습니다.

다음은 친구 인 Monte Carlo의 과의 플롯입니다 $k \approx 0.003$ . 중앙값은 21, 평균은 22입니다. 여기에 이미지 설명을 입력하십시오

이것은 내 배경 인 디지털 신호 처리의 1 차 차이 방정식과 대체로 동일하므로 매우 참신합니다. 또한 $p(n)$ 이 임의의 공식에 따라 달라질 수 있다는 개념에 흥미 가 있습니다.

내 질문 :

이 배포판의 이름은 무엇입니까?
발현 유도하는 어떤 방법이 참조하지 않고 ? $f(n)$ $F(n)$
이와 같은 불연속 재귀 분포의 다른 예가 있습니까?

난수 생성에 대한 명확한 프로세스를 편집합니다 .

— jbarlow
소스

() 대신 대괄호를 선택한 이유가 있습니까?

— Cam.Davidson.Pilon

@ Cam.Davidson.Pilon : DSP 배경이 제대로 작동하지 않습니다. 개별 시간 함수에는 대괄호를 사용하는 경향이 있습니다. 나는 이것이 엉망이 될 것 같아서 바꿀 것입니다.

— jbarlow 2016

가정하는 프로세스가 여기에 명확하게 정의되어 있지 않습니다. " 단계마다 게임이 난수 굴립니다 . 이면 이벤트가 트리거됩니다." 그러나 를 그리는 방법에 대한 사양은 제공하지 않습니다 . 프로세스를 좀 더 정확하게 설명 할 수 있다면 도움이 될 것입니다.

n

$n$

X

$X$

X < p (n)

$X < p(n)$

X

$X$

— 추기경

@jbarlow : 이전 의견이 명확하지 않은 경우 죄송합니다. 만약 일부 , 다음 프로세스가 이상 할 수있는 방법이 없다 제로 사이의 균일 한 난수 이후 단계는 하나는 확실히 작은 것 대해 보다 큽니다 . 수량 의 함수로서 매우 밀접 소위 관련된 위험 함수 라고도 통계의 서브 필드에서 생존 분석 .

p (n) = k n

$p(n) = k n$

0 < k < 1

$0 < k < 1$

⌈ k^{- 1} ⌉

$\lceil k^{-1} \rceil$

p (n)

$p(n)$

n > 1 / k

$n > 1/k$

p (n)

$p(n)$

n

$n$

— 추기경

작은 들어 있음이 차분 방정식 쇼 차동 아날로그하여 ( 되지 !)에 근접 가우스이다. (이로부터 우리는 즉시 추론 예를 들어, 그 평균이 근처에 있어야합니다 .) 제발 참고도에 일부 (강한) 제한이 있음을 , 그렇지 않으면 이 초과하면 (결국 그렇게 함) 가 보다 작거나 같다는 보장은 없습니다 .

k

$k$

F

$F$

f

$f$

\sqrt{1 / k} = \sqrt{333} \approx 18

$\sqrt{1/k}=\sqrt{333}\approx 18$

k

$k$

p (n)

$p(n)$

1

$1$

F

$F$

1

$1$

— whuber

답변:

어떤 의미에서, 당신이 한 일은 음이 아닌 정수 값 분포를 모두 특성화 하는 것입니다 .

랜덤 프로세스에 대한 설명을 잠시 남겨두고 문제의 재귀에 초점을 맞추겠습니다.

만약 다음 확실히 . 생존 함수 ( 는 분포 )의 관점 에서이 두 번째 재귀를 다시 매우 암시적이고 다루기 쉬운 것을 얻습니다. 분명히 등 따라서 시퀀스 이 값을 취하고 너무 빠르게 0으로 수렴하지 않는 한 유효한 생존 함수를 얻습니다 (즉, 로 단조롭게 0으로 감소 ). $f_n = p_n (1 - F_{n-1})$ $F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$ $T$ $F$

S_{n} = 1 - F_{n} = (1 - p_{n}) S_{n - 1},

$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$

S_{n} = \prod_{k = 0}^{n} (1 - p_{k}) .

$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$

(p_{n})

$(p_n)$

[0, 1]

$[0,1]$

n \to \infty

$n \to \infty$

더 구체적으로,

제안 : 값을 취하는 시퀀스 는 경우에만 음수가 아닌 정수에 대한 분포를 결정합니다 그러한 모든 분포는 대응하는 순서를 갖습니다 (고유하지는 않더라도). $(p_n)$ $[0,1]$
$- \sum_{n = 0}^{\infty} \log (1 - p_{n}) = \infty,$ $-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$

따라서 문제에 기록 된 재귀는 완전히 일반적입니다 . 음이 아닌 정수 값 분포는 값을 갖는 해당 시퀀스 를 가지며 입니다. $(p_n)$ $[0,1]$

그러나 그 반대는 사실이 아닙니다. 즉, 유효한 분포에 해당하지 않는 값을 갖는 시퀀스 가 있습니다 . (특히, 고려 모든 및 에 대한 ). $(p_n)$ $[0,1]$ $0 < p_n < 1$ $n \leq N$ $p_n = 0$ $n > N$

그러나 더 많은 것이 있습니다!

우리는 생존 분석과 관련이 있다는 것을 암시했고 이것을 조금 더 깊이 살펴볼 가치가 있습니다. 절대적으로 연속적인 분포 와 해당 밀도 를 갖는 고전적인 생존 분석 에서 위험 함수 는 $F$ $f$

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)} .

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$

누적 위험은 다음이다 및 유도체 프로그램의 간단한 분석이 이것으로부터 우리는 즉시 허용 가능한 위험 함수의 특성을 부여 할 수 있습니다. 그것은 모든 대해 및 와 같이 측정 가능한 함수 입니다. 같은 . $\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$

S (t) = \exp (- Λ (t)) = \exp (- \int_{0}^{t} h (s) d s) .

$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$

h

$h$

h (t) \geq 0

$h(t) \geq 0$

t

$t$

\int_{0}^{t} h (s) d s ↑ \infty

$\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$

t \to \infty

$t \to \infty$

대해 위의 생존 함수와 유사한 재귀를 얻습니다. $t > t_0$

S (t) = e^{- \int_{t_{0}}^{t} h (s) d s} S (t_{0}) .

$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$

특히 우리가 를 각 조각이 너비 1 인 부분적으로 일정하고 정수가 무한대로 수렴되도록 선택할 수 있음을 관찰하십시오 . 이것은 각각의 양의 정수에서 하나의 값을 갖는 원하는 임의의 음이 아닌 정수와 일치 하는 생존 함수 를 산출 할 것이다 . $h(t)$ $S(t)$

개별 케이스에 다시 연결

바람직한 이산 일치 각각 정수로를, 우리는 그 조각 별 일정 위험 함수 선택해야 에 .이 제 시퀀스에 필요한 조건을 제공 증명 유효한 분포를 정의한다. $S(n)$

h (t) = h_{n} = - \log (1 - p_{n}),

$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$

(n - 1, n]

$(n-1,n]$

(p_{n})

$(p_n)$

작은 경우 은 연속 분포의 위험 함수와이 분포에 일치하는 생존 함수를 갖는 이산 분포 간의 휴리스틱 연결을 제공합니다. 정수. $p_n$ $-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

Postscript : 마지막으로, 문제의 예제 은 에서 을 적절하게 수정하지 않고 모든 대해 을 설정 하지 않으면 필요한 조건을 충족 하지 않습니다. . $p_n = k n$ $f_n$ $n = \lceil k^{-1} \rceil$ $f_n = 0$ $n > \lceil k^{-1} \rceil$

— 추기경
소스

+1 매우 밝습니다. 그러나 포스트 스크립트와 관련하여, "적절한 잘림"은 특별한 값에 대한 당연히 발생하는 것으로 보입니다 . 예를 들어,로 우리가 구 ,보다 일반적으로 우리 얻을 입니다.

k

$k$

k = 1 / 2

$k=1/2$

f = (0, 1 / 2, 1 / 2, 0, \dots)

$f=(0,1/2,1/2,0,\ldots)$

k = 1 / m

$k=1/m$

f (m + 1) = f (m + 2) = \dots = 0

$f(m+1)=f(m+2)=\cdots=0$

— whuber

@ whuber : "적절한 잘림"의 의미를 더 명확하게 지정해야합니다. 지정된 지점에서 값 을 (축소) 생각 했습니다 ( 이 되도록 ). 나는 당신이 언급 한 경우에 개념이 여전히 유효하다고 생각합니다. 절단으로 인해 값이 변경되지 않을 것 입니다. 나는 이것을 곧 편집에서 명확히하려고 노력할 것이다. 감사합니다!

f_{n}

$f_n$

F_{n}

$F_n$

f_{n}

$f_n$

— 추기경

좋은 대답입니다. 이것은 매우 통찰력이 있습니다. 나는이 문제가 다른 영역과 개념과 관련이있는 것을보고 정말로 관심이 있었다.

— jbarlow

@jbarlow : 감사합니다. 도움이 되셨 다니 다행입니다. 나는 좋은 질문이기 때문에 그것에 대해 조금 생각하는 것을 즐겼습니다.

— 추기경

케이스에 , 우리는 어떤 공지 된 특성을 갖는다. 우리는 재발 관계를 해결할 수 있습니다 $p(n) = p < 1$

F (n) = p + F (n - 1) (1 - p); F (0) = p

$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$

해결책이있다

F (n) = P (N \leq n) = 1 - (1 - p)^{n + 1}

$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$ 이것은 기하 분포 입니다. 잘 연구되었습니다.

의 더 일반적인 경우 는 아마도 닫힌 형태로 계산 될 수 없으므로 알려진 분포가 없을 것입니다. $p(n)$

다른 경우 :

$p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ 는 해를 일반적으로 알려진 배포판이 아닙니다. $F (n) = 1 - \frac{(1 - p) Γ (n + 1 - p)}{Γ (1 - p) Γ (n + 1)}$ $F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$
정의 (통계의 생존 기능이라고 함), 위의 간단한 형태로 감소 점화식 $S(n) = 1-F(n)$ $S (n) = (1 - p (n)) S (n - 1)$ $S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$
귀하의 예제에서, 당신이 함수 원하는 표시 증가가 . 당신의 선택 은 의 중단으로 인해 분석적으로 좋지 않습니다 . 수학자와 통계학자는 부드러운 것을 선호합니다 . 그래서 나는 이 함께 점화식 해결 1. 수렴 , 좋은 분석 형태 갖는다 : 고려 . 알려진 통계 사실은 $p(n)$ $n$ $p(n) = kn$ $p>1$ $p (n) = 1 - \frac{(1 - p)}{n + 1} p < 1$ $p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$ $p(0) = p$ $p(n)$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p)^{n + 1}}{n!}$ $F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $\sum_{i = 0}^{\infty} S (i) = E [N]$ $\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$ 미적분학을 기억하면 지수의 Taylor 시리즈와 매우 비슷해 보이므로 $E [N] = (1 - p) e^{(1 - p)}$ $E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$

— 캠 데이비슨 필론
소스