테니스 경기가 하나의 대형 세트라면, 같은 정확도를 제공하는 게임은 몇 개입니까?

테니스는 독특한 3 계층 점수 시스템을 가지고 있으며, 이것이 더 나은 선수를 결정하기위한 실험으로서의 경기 관점에서 통계적 이점이 있는지 궁금합니다.

익숙하지 않은 사람들을 위해, 일반적인 규칙에서 게임은 당신이 2 포인트 리드를 가지고있는 한 (즉, 4-2라면이기는하지만 4-3은 1 포인트 더 필요하며, 계속 유지합니다) 한 명의 선수가 2 명 앞서야합니다.

세트는 게임의 모음이며, 세트는 첫 번째에서 6으로 이기고 다시 2로 이겨야합니다. 단, 이번에는 특별한 타이 브레이커 게임이 계속되는 대신 재생됩니다 (최종 Wi 블던 등 제외). ..)

경기는 대회에 따라 1 ~ 2 세트에서 승리합니다.

테니스는 또한 게임이 불공평하다는 점에서 이상합니다. 특정 지점에서 서버는 큰 이점을 가지므로 서버가 번갈아 가면서 각 게임을 수행합니다.

타이 브레이커 게임에서 서브는 매 포인트마다 번갈아 가며, 다시 2 포인트 리드로 1 ~ 7 포인트입니다.

플레이어 A가 자신이의 역할에 지점을 승리의 확률이 있다고 가정하자 및 수신 할 때 .$p_s$$p_r$

문제는 이것입니다.

A) 방금 테니스를 큰 "베스트 오브 N 게임"시합으로 플레이 한 경우

B) 방금 큰 타이 브레이커 게임으로 테니스를했는데, 5 점 테니스의 최고점과 같은 정확도를 가진 점수는 몇 점입니까?

분명히 이러한 답변은 및 값 자체에 따라 달라 지므로 알고 있어야합니다.$p_s$$p_r$

C) 상수 , 가정하여 일반 테니스에서 예상되는 게임 및 포인트 수는$p_s$$p_r$

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"정확도"정의

우리가 두 선수의 기술이 일정하게 유지된다고 가정하면, 그들이 무한한 시간 동안 경기한다면, 한 명의 또는 다른 선수가 플레이 형식에 관계없이 거의 확실하게 이길 것입니다. 이 선수는 "올바른"승자입니다. 올바른 승자가 플레이어라고 확신합니다 .$p_r+p_s > 1$

더 나은 플레이 형식은 같은 수의 포인트에 대해 정확한 승자를 더 자주 생성하거나, 몇 개의 포인트에서 동일한 확률로 올바른 승자를 생성하는 것입니다.

당신이 게임을하면 당신은에 의해 승리가 점, , 당신은 선수가 6 점을 재생 가정 할 수있다. 이긴 플레이어가 없으면 점수는 으로 묶인 다음 한 플레이어가 이길 때까지 포인트 쌍을 플레이합니다. 이것은 각 포인트를 이길 기회가 일 때 포인트 로 게임을 이길 수있는 기회 는$4$$2$$2$$3-3$$4$$p$

$$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$$ .

최상위 남자 플레이에서 는 서버의 경우 약 입니다. ( 두 번째 서브에서 남성이 않으면 이 될 것 입니다.)이 공식에 따르면, 서브를 잡을 기회는 약 입니다.$p$$0.65$$0.66$$82.96\%$

타이 브레이커를 포인트 로 재생한다고 가정하십시오 . 각 플레이어가 각 쌍 중 하나를 제공하는 지점에서 포인트가 재생된다고 가정 할 수 있습니다. 누가 먼저 봉사하든 상관 없습니다. 플레이어가 점을 플레이한다고 가정 할 수 있습니다 . 그들이 그 지점에 묶여 있다면, 한 플레이어가 두 쌍을 모두 이길 때까지 쌍을 이는 조건부 우승 확률이 입니다. 정확하게 계산하면 순위 결정을 점 으로 이길 수있는 기회 는$7$$12$$p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$$7$

$$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$$

경우 후 타이 브레이커를 이길 수있는 기회에 관한 .$p_s=0.65, p_r=0.36$$51.67\%$

다음으로 세트를 고려하십시오. 누가 먼저 서빙하는지는 중요하지 않습니다. 그렇지 않으면 편리합니다. 그렇지 않으면 서브를 유지하지 않고 세트를 이기고 다음 versys가 세트를이기는 동안 세트를이기는 것을 고려해야합니다. 게임 세트로 이기기 위해 게임이 먼저 재생 된다고 상상할 수 있습니다 . 점수가 로 묶인 경우 게임을 더합니다. 그들이 승자를 결정하지 못하면, 타이 브레이커를 플레이하거나 다섯 번째 세트에서 게임 쌍 반복을 반복하십시오. 하자 보유으로 게재 확률, 그리고하자$6$$10$$5-5$$2$$p_h$$p_b$상대의 서브를 깰 가능성이 있으며, 이는 게임에서 이길 확률보다 위에서 계산 될 수 있습니다. 타이 브레이크없이 세트를 이길 수있는 기회는 타이 브레이커를 이길 수있는 기회와 같은 기본 공식을 따릅니다. 단, 우리는 포인트가 아닌 게임을 하고 를 , 을 로 .$6$$7$$p_s$$p_h$$p_r$$p_b$

및 으로 다섯 번째 세트 (타이 브레이커가없는 세트)를 이길 수있는 조건부 확률 은 입니다.$p_s=0.65$$p_r=0.36$$53.59\%$

및 타이 브레이커로 세트를 이길 수있는 기회 는 입니다.$p_s=0.65$$p_r=0.36$$53.30\%$

이고 5 번째 세트에서 타이 브레이커없이 세트 의 최고 경기에서 승리 할 확률 은 입니다.$5$$p_s=0.65$$p_r=0.36$$56.28\%$

그렇다면 이러한 승률에 대해 동일한 차별 력을 갖기 위해서는 한 세트에 몇 개의 게임이 있어야합니까? 함께 , 당신은에 세트 승리 보통 연장전으로 게임 , 당신은에 세트를 승리 가능하면 연장전으로 게임 시간. 타이 브레이커가없는 경우 정규 경기에서 이길 수있는 기회는 길이 과 사이 입니다. 하나의 큰 타이 브레이커를 단순히 플레이하는 경우 길이 의 타이 브레이커에서 우승 할 확률 은 이고 길이 의 타이 브레이커 는 입니다.$p_s=0.65, p_r=0.36$$24$$56.22\%$$25$$56.34\%$$23$$24$$113$$56.27\%$$114$$56.29\%$

이것은 하나의 자이언트 세트를하는 것이 5 경기보다 효율적이지는 않지만, 하나의 거대한 타이 브레이커를 플레이하는 것이 적어도 우세한 서빙을하는 경쟁자에게는 더 효율적일 것임을 시사합니다.

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다음은 2013 년 3 월 GammonVillage 칼럼 "게임, 세트 및 경기" 에서 발췌 한 것입니다 . 나는 동전 뒤집기가 고정 된 이점 ( )으로 간주 하고 하나의 큰 경기 또는 일련의 짧은 경기를하는 것이 더 효율적인지 물었습니다.$51\%$

... 하나의 긴 경기보다 3 중 최고가 효율적이지 않으면 5 중 최고가 더 나빠질 것으로 예상 할 수 있습니다. 확률 로 5 점의 점 을 획득하여 번의 단일 경기에서 승리합니다 . 오의 최고에 일치의 평균 수는 게임의 평균 수는 그래서, . 물론 이것은 경기에서 가능한 최대 게임 수보다 평균은 입니다. 더 긴 일련의 경기는 훨씬 덜 효율적입니다.$13$$57.51\%$$45$$4.115$$4.115 \times 21.96 = 90.37$$45$$82.35$

어떻게 다른 수준에 3 개 경기의 최선의 세 가지 시리즈의 최고의 약 ? 각 시리즈는 와 일치하는 시리즈는 와 가장 일치하는 3 개 중 최고 것입니다. 따라서 하나의 긴 일치 항목이 일련의 시리즈보다 효율적입니다.$13$$29$$29$

일련의 경기가 하나의 긴 경기보다 비효율적 인 이유는 무엇입니까? 어떤 선수가 더 강한지를 결정하기 위해 증거를 수집하기위한 통계 테스트로 이것을 고려하십시오. 3 번의 경기 중 가장 좋은 경기에서는 점수로 시리즈를 잃을 수 있습니다 . 이것은 상대의 에게 게임을 이기는 것을 의미 하지만 상대는 시리즈를 이길 것입니다. 동전을 던져 머리 개와 꼬리 얻는 다면, 꼬리가 머리보다 가능성이 아니라 머리보다 꼬리가 더 가능성이 높다는 증거가 있습니다. 따라서 정보를 낭비하기 때문에 3 개의 일치 항목 중 가장 일치하는 항목이 비효율적입니다. 일련의 경기는 더 적은 수의 게임에서 승리 한 플레이어에게 승리를주기 때문에 평균적으로 더 많은 데이터가 필요합니다.$13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$$36$$33$$36$$33$