의 기대치를 어떻게 계산 합니까?

경우 지수 분포 파라미터와 및 의 서로 무관의 기대 무엇 $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

측면에서 과 및 가능한 다른 상수? $n$ $\lambda$

참고 : 이 질문은 /math//q/12068/4051 에서 수학 답변을 얻었습니다 . 독자들도 그것을 볼 것입니다.

expected-value exponential gamma-distribution

— 이삭
소스

이 질문의 두 사본은 서로를 참조하며 적절하게 통계 사이트 (여기)에는 통계적 답변이 있고 수학 사이트에는 수학 답변이 있습니다. 그것은 좋은 부서처럼 보입니다.

— whuber

답변:

경우 (독립 미만), 그 다음, 이므로 감마 분포 (참조 : 위키 백과 ). 따라서 만 있으면 됩니다. 이후 , 우리가 알고 . 따라서 ( 감마 분포의 기대 및 분산에 대해서는 Wikipedia 참조 ). $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— 볼프강
소스

감사. 몇 분 전에 math.stackexchange (질문의 위 링크)에서 질문에 대답하는 매우 깔끔한 방법 (동일한 답변으로 연결)도 제공되었습니다.

— Wolfgang

수학 답변은 기대의 선형성을 사용하여 적분을 계산합니다. 어떤면에서는 더 간단합니다. 그러나 통계 지식을 활용하기 때문에 솔루션이 마음에 듭니다. 독립 지수 변수의 합계에 감마 분포가 있다는 것을 알았으므로 끝났습니다.

— whuber

나는 그것을 꽤 즐겼고 결코 통계 학자 또는 수학자가 아닙니다.

— Kortuk

매우 우아한 답변.

— Cyrus S

@Dilip 수학자는이 질문을 적분을 요구하는 것으로보고 경향을 직접 적분합니다. 통계학자는 분산과 같은 친숙한 통계량과 지수가 감마이고 감마 패밀리가 컨볼 루션 하에서 닫힌 것과 같이 친숙한 통계 관계로이를 다시 표현합니다. 답은 동일하지만 접근 방식은 완전히 다릅니다. 그런 다음 "통합 수행"이 실제로 무엇을 의미하는지에 대한 의문이 있습니다. 예를 들어, 이 복잡한 적분 은 완전히 대수적으로 수행됩니다.

— whuber

위의 답변은 매우 훌륭하고 질문에 완전히 대답하지만 대신 예상되는 합의 제곱에 대한 일반 공식을 제공하고 여기에 언급 된 특정 예에 적용합니다.

상수 대해 $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

이것은 Distributive 속성에 해당되며 손으로 을 계산할 때 수행중인 작업을 고려할 때 명확 해집니다 . $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

따라서 분포에 관계없이 임의의 변수 의 표본에 대해 $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

이러한 기대가 존재하는 한.

문제의 예에서는 IID된다 우리에게 랜덤 변수, 즉 및 각 . 독립성으로 에 대해 $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

이 항들 중 이 있습니다. 일 때 $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

그리고이 용어의 총합 에는 이 있습니다 . 따라서 위의 공식을 사용하면 $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

당신의 대답입니다.

— 매크로
소스

이 문제는 일반적으로 거듭 제곱 표기법으로 정의되는 '순간 순간'에 대한 훨씬 일반적인 문제의 특별한 경우입니다. 특히, 전력 합계 표기법에서 :

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

그런 다음 분포에 관계없이 원본 포스터는 (모멘트가있는 경우). 기대 연산자는 1st Raw Moment이므로, 다음과 같은 방법으로 mathStatica 소프트웨어에 솔루션이 제공됩니다. $E[s_1^2]$

[ '___ToRaw'는 중앙 모멘트 또는 누적이 아니라 인구의 원시 모멘트로 솔루션을 제시한다는 것을 의미합니다. ]

마지막으로 ~ 지수 ( ) pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

그런 다음 일반 솔루션 의 모멘트 를 지수 랜덤 변수의 실제 값 으로 바꿀 수 있습니다 . $\mu_i$ sol

다 했어요

추신 여기에 게시 된 다른 솔루션은 분자가 아닌 분모에 로 답을 얻는 이유 는 지수 분포의 다른 매개 변수를 사용하기 때문입니다. OP가 자신이 사용하고있는 버전을 밝히지 않았기 때문에 표준 배포 이론 교과서 정의 Johnson Kotz et al…을 사용하기로 결정했습니다. $\lambda^2$

— 늑대
소스