검정의 크기와 유의 수준

이 둘의 차이점은 무엇이며, 유의 수준이 항상 검정 크기보다 크거나 같아야하는 이유는 무엇입니까?

모수 공간 값을 가정 하는 모수 가 포함 된 분포에서 무작위 표본 이 있다고 가정합니다 . 같이 매개 변수 공간을 분할 , 당신은을 테스트 할 것은 가설 호출되는 널 (null) 및 대안 각각 가설.$X_1,\dots,X_n$$\theta$$\Theta$$\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$

$$H_0 : \theta \in \Theta_0 \, ,$$ $$H_1 : \theta \in \Theta_1 \, ,$$

하자 임의의 벡터의 모든 가능한 값의 샘플 공간 나타내는 . 테스트 프로 시저를 빌드하는 목표는이 샘플 공간 을 귀무 가설 기각 할 값을 포함하는 임계 영역 두 부분으로 분할 하는 것입니다 . 대안 동의 ) 및 수용 지역 의 값을 포함하는, 는 귀무 가설을 거부하지 않은 (그리고 따라서 대체 거부 ).$\mathscr{X}$$X=(X_1,\dots,X_n)$$\mathscr{X}$ $\mathscr{C}$$X$$H_0$$H_1$ $\mathscr{A}$$X$$H_0$$H_1$

공식적으로 테스트 절차는 측정 가능한 함수 로 설명 할 수 있으며 , 각 가설에 유리한 결정에 대한 명확한 해석이 필요합니다. 위험 지역은 이며 수용 지역은 .$\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$$\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$$\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$

각 테스트 절차 에 대해 에 대해 즉, 는 매개 변수 값이 때 을 거부 할 확률을 제공합니다 .$\varphi$$\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$

$$\pi_\varphi(\theta) = \Pr(\varphi(X)=1\mid\theta) = \Pr(X\in\mathscr{C}\mid\theta) \, .$$ $\pi_\varphi(\theta)$$H_0$$\theta$

이 잘못 되었을 때 을 거부하기로 한 결정 . 따라서, 주어진 문제에 대한, 당신은 단지 그 시험 절차 고려할 수 있습니다 하는 에 대한 모든 ,하는 일부입니다 수준은 유의성 ( ). 유의 수준은의 한 속성입니다 참고 클래스 테스트 절차. 이 클래스를 정확하게 로 정확하게 설명 할 수 있습니다 $H_0$$\theta\in\Theta_0$$\varphi$$\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$$\theta\in\Theta_0$$\alpha$$0<\alpha<1$

$$\mathscr{T}_{\alpha} = \left\{ \varphi\in\{0,1\}^\mathscr{X} : \pi_\varphi(\theta)\leq\alpha, \textrm{for every}\; \theta\in\Theta_0\right\} \, .$$

각 개별 테스트 절차 에 대해 을 잘못 거부 할 수 있는 최대 확률 를 테스트 절차 의 크기 라고합니다 .$\varphi$$\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$$H_0$$\varphi$

이러한 정의에서 우리가 유의 수준 를 설정하고 허용 가능한 테스트 절차의 클래스를 결정하면 이 클래스 내의 각 테스트 절차 는 및 반대로. 간결, 경우에만, .$\alpha$$\mathscr{T}_{\alpha}$$\varphi$$\alpha_\varphi\leq\alpha$$\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$$\alpha_\varphi\leq\alpha$