두 개의 독립적 감마 랜덤 변수의 합

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만약 및 , 여기서, 및 독립적 인 랜덤 변수는 다음 . $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ $X$ $Y$ $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$

그러나 나는 어떤 증거도 보지 못했습니다. 누구든지 나를 증명해 줄 수 있습니까?

편집 : Zen 덕분에 많은 도움이되었고 Wikipedia 페이지에서 특징적인 기능에 대한 예를 찾았습니다 .

probability pdf gamma-distribution

— 덱스터 12
소스

3

직감 : 감마 분포는 독립적 지수 분포 의 합으로 발생하는데 ,이 문맥에서 는 감마 분포 를 가지므로 와 는 양의 정수입니다.

(n)

$(n)$

n

$n$

X + Y

$X+Y$

(a + b, θ)

$(a+b,\theta)$

a

$a$

b

$b$

— whuber

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증거는 다음과 같습니다. (1) 독립 랜덤 변수의 합계의 특징 함수는 개별 특성 함수의 곱이라는 것을 기억하십시오. (2) 여기서 감마 랜덤 변수의 특성 함수를 구 하십시오 . (3) 간단한 대수를하십시오.

이 대수적 주장을 넘어서는 직관을 얻으려면 whuber의 의견을 확인하십시오.

참고 : OP는 감마 랜덤 변수의 특성 함수를 계산하는 방법을 묻습니다. 만약 (당신이 처리 할 수 있습니다, 다음 이 경우, 일반 상수로) $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ $i$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} λ e^{- λ x} d x = \frac{1}{1 - i t / λ} .

$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$

지금 후버의 팁을 사용하면 다음 1, 의이 독립적 . 따라서 (1) 속성을 사용하면 $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ $Y=X_1+\dots+X_k$ $X_i$ $\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

ψ_{Y} (t) = {(\frac{1}{1 - i t θ})}^{k} .

$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$

팁 : 결과와 증거를 응시하는 이러한 것들을 배우지 않을 것입니다. 배고프고 모든 것을 계산하고 자신의 증거를 찾으십시오. 당신이 실패하더라도, 다른 사람의 대답에 대한 당신의 감사는 훨씬 더 높은 수준에있을 것입니다. 그리고, 그렇습니다, 실패는 괜찮습니다 : 아무도보고 있지 않습니다! 수학을 배우는 유일한 방법은 각 개념과 결과에 대한 주먹 싸움입니다.

— 선
소스

참조 된 진술은 명시 적으로 "모든 Xi가 독립적 인 경우"라고 명시합니다.

— whuber

내가 얻지 못하는 한 가지는 특징적인 기능에 어떻게 도달 했습니까?

— Dexter12

답변에 추가하겠습니다. 구경하다.

— Zen

아마도이 함수의 특성에 대한 기준을 포함 할 수 에 대한 비 - 정수 값 ?

Γ (a, θ)

$\Gamma(a,\theta)$

a

$a$

— Dilip Sarwate

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다음은 특성 함수를 사용할 필요가 없지만 통계에서 다른 용도로 사용되는 일부 아이디어를 강화하는 답변입니다. 독립적 인 랜덤 변수의 합의 밀도는 밀도의 컨벌루션입니다. 따라서 노출을 쉽게하기 위해 을 취 하면 . $\theta = 1$ $z > 0$

\begin{aligned} f_{X + Y} (z) & = \int_{0}^{z} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x \\ = \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} e^{- x}}{Γ (a)} \frac{(z - x)^{b - 1} e^{- (z - x)}}{Γ (b)} d x \\ = e^{- z} \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} (z - x)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d x & now substitute x = z t and think \\ = e^{- z} z^{a + b - 1} \int_{0}^{1} \frac{t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d t & of Beta (a, b) random variables \\ = \frac{e^{- z} z^{a + b - 1}}{Γ (a + b)} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$

— 디립 사르 베이트
소스

3

(+1) 모든 것을 증명할 수있는 여러 가지 방법이있는 것이 이상적입니다. 어쩌면 누군가가 변환을 고려하여 답변을 게시 할 것 입니다.

(X, Y) \mapsto (U, V) = (X + Y, X)

$(X,Y)\mapsto(U,V)=(X+Y,X)$

— Zen

닫힌 양식 표현식에서 의 밀도를 비슷하게 찾을 수 있습니까 ? 이 경우 적분을 단순화 할 수 없습니다.

X - Y

$X-Y$

— pikachuchameleon 2019

@pikachuchameleon 이 답변 보기 내.

— Dilip Sarwate

3

보다 휴리스틱 수준에서 : 와 가 정수인 경우 감마 분포는 Erlang 분포이므로 와 는 Poisson 프로세스에서 각각 와 의 대기 시간을 rate 냅니다. 와 의 두 대기 시간 은 $a$ $b$ $X$ $Y$ $a$ $b$ $\theta$ $X$ $Y$

독립적 인
발생에 대한 대기 시간까지 합산 $a+b$

발생 대기 시간 은 감마 ( )로 분배 됩니다. $a+b$ $a+b,\theta$

이 중 어느 것도 수학적인 증거는 아니지만, 연결 뼈에 약간의 살을 붙이고,이를 수학적인 증거로 살리려면 사용할 수 있습니다.

— 스 베인 올라 브 니 베르크
소스