여러 랜덤 변수의 곱의 차이

: 우리는 두 개의 독립 변수에 대한 답을 알고

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

그러나 이상의 변수의 곱을 취하면 각 변수의 분산 및 예상 값에 대한 답은 무엇입니까? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— 다 말라
소스

이 때문에

(모든 가정 랜덤 변수이고

무관)을가 독립적 인

, 대답이 유도 얻어진다 무변화 필요하지 않다. 이것이 너무 신비하게 보이지 않도록 기술은 계산기로 두 개의 숫자를 추가 할 수 있기 때문에 반복 된 덧셈으로 동일한 계산기로

개의 숫자를 추가 할 수 있다는 점과 다르지 않습니다 .

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

표시된 방정식 의 증거 를 작성할 수 있습니까?

와 관련된 용어를 제공 해야하는

항에 어떤 일이 일어 났는지 궁금합니다 .

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate, 나는이 질문이 암묵적으로

와

가 독립적 이라고 가정합니다 . OP 공식은

가 상관되지 않고

가 상관되지 않을 때마다 정확합니다 . 관련 질문에 대한 내 답변은 여기 를 참조 하십시오 .

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— Macro

@ 매크로 나는 당신이 제기 포인트를 잘 알고 있습니다. OP가 자신을 위해 이해하거나 이해하기 위해 노력한 것은

가

단순화되는 것처럼 독립적 인 무작위 변수에 대한 것입니다

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

는

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$ whuber가 지적한 유도 방법보다 최종 결과를 얻는 더 직접적인 방법이라고 생각합니다.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, 좋습니다. 답변으로 게시하여 추천 할 수 있습니다.

— Macro

$X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— 디립 사르 베이트
소스

고마워요! 정말 감사. 예, 문제는 독립적 인 랜덤 변수에 대한 것이 었습니다.

— damla

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

질문을 새 페이지에 게시했습니다. 고마워요! stats.stackexchange.com/questions/53380/…

— damla

n

$n$

3

$3$