가우스 혼합으로 학생 t


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k>0 자유도, 위치 모수 및 밀도를 갖는 스케일 모수 를 갖는 학생 t- 분포 사용ls

Γ(k+12)Γ(k2kπs2){1+k1(xls)}(k+1)/2,

, 를 통해 학생 분포를 가우시안 분포의 혼합으로 쓸 수 있음 을 보여주는 방법 , 조인트 밀도 f (x, \ tau | \ mu) 를 적분 하여 한계 밀도 f (x | \ mu) ? 결과적인 t- 분포 의 매개 변수는 \ mu, \ alpha, \ beta의 함수로 무엇입니까?X N ( μ , σ 2 ) τ = 1 / σ 2Γ ( α , β ) f ( x , τ | μ ) f ( x | μ ) t μ , α , βtXN(μ,σ2)τ=1/σ2Γ(α,β)f(x,τ|μ)f(x|μ)tμ,α,β

관절 조건 밀도와 감마 분포를 통합하여 미적분학에서 길을 잃었습니다.

답변:


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정규 분포의 PDF는

fμ,σ(x)=12πσ이자형(엑스μ)22σ2엑스

그러나 측면에서 는 인τ=1/σ2

μ,τ(엑스)=τ2π이자형τ(엑스μ)22엑스.

감마 분포의 PDF는

hα,β(τ)=1Γ(α)eτβτ1+αβαdτ.

따라서 쉽게 대수로 약간 단순화 된 그들의 제품은

fμ,α,β(x,τ)=1βαΓ(α)2πeτ((xμ)22+1β)τ1/2+αdτdx.

그것의 내부 부분은 명백하게 의 형태를 가지 므로 전체 범위 τ = 0 에서 τ = ∞에 걸쳐 통합 될 때 감마 함수 의 배수가 됩니다 . 그러므로 그 적분은 즉각적이다 (감마 분포의 적분이 단일 함을 알면 얻을 수 있음).exp(constant1×τ)×τconstant2dττ=0τ=

fμ,α,β(x)=βΓ(α+12)2πΓ(α)1(β2(xμ)2+1)α+12.

분포에 제공된 패턴을 일치 시키려고 하면 문제에 오류가 있음 을 알 수 있습니다. Student t 분포PDF는 실제로t

1ks(11+k1(xls)2)k+12

(의 힘 아닌 ). 용어를 일치 시키면 k = 2 α , l = μs = 1 / (xl)/s21k=2αl=μ .s=1/αβ


이 파생에는 미적분학이 필요하지 않았습니다. 모든 것은 일반 및 감마 PDF의 공식을 찾고, 제품 및 거듭 제곱과 관련된 사소한 대수 조작을 수행하고, 대수식에서 패턴을 순서대로 일치시키는 문제였습니다.


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이 답변에서 영감을 얻어 정규 분포의 혼합으로 t 분포의 애니메이션을 만들었습니다. 그것은 여기에 있습니다 : sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals
라스무스 바트

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@whuber : 기술적으로, 이러한 종류의 일치를 위해 알려진 정수 형식을 사용하여 감마 밀도를 통합 할 수 있다는 인식에서 항상 미적분학을 암시 적으로 사용합니다. (이것은 고기와 감자를 섞어 브로콜리를 숨기는 것과 통계학 자의 것과 같습니다.) 미적분을 숨기는 영리한 방법!
복원 Monica Monica

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나는 계산 단계를 모르지만 어떤 책의 결과를 알고 있습니다 (어떤 책을 기억할 수는 없습니다 ...). 나는 보통 그것을 직접 염두에 두어야한다. :-) k 도 자유를 갖는 스튜던트 분포는 분산 혼합물 Y 를 갖는 정규 분포로 간주 될 수 있으며 , 여기서 Y 는 역 감마 분포를 따른다. 보다 정확하게는 X ~ t ( k ) , X = tkYYXt(k)XYΦYIG(k/2,k/2)Φ


0

0

1/τX=Y
is equivalent to a Gaussian mixture with that prior: conditioned on τ, Y is Gaussian with precision τ, and the prior τ is as desired. Then it remains to show that 1/τX is a t-distribution. We can write
τΓ(α,β)β2Γ(α,2)β2χ2(2α)
using a well-known result about gammas and Chi-squares (decompose a gamma as a sum of exponentials and combine the exponentials to normals to Chi squares) This in turn implies that
YX1(β/2)χ2(2α)
=Xαβχ2α2/(2α)
which is a scaled t with k=2α and s=1/αβ by variance of t. We can recenter our representation at μ and l would follow.

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