가우스 혼합으로 학생 t

$k > 0$ 자유도, 위치 모수 및 밀도를 갖는 스케일 모수 를 갖는 학생 t- 분포 사용$l$$s$

$$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$$

, 를 통해 학생 분포를 가우시안 분포의 혼합으로 쓸 수 있음 을 보여주는 방법 , 조인트 밀도 f (x, \ tau | \ mu) 를 적분 하여 한계 밀도 f (x | \ mu) ? 결과적인 t- 분포 의 매개 변수는 \ mu, \ alpha, \ beta의 함수로 무엇입니까?X ∼ N ( μ , σ 2 ) τ = 1 / σ 2 ∼ Γ ( α , β ) f ( x , τ | μ ) f ( x | μ ) t μ , α , $t$$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$$f(x,\tau|\mu)$$f(x|\mu)$$t$$\mu,\alpha,\beta$

관절 조건 밀도와 감마 분포를 통합하여 미적분학에서 길을 잃었습니다.

정규 분포의 PDF는

$$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$$

그러나 측면에서 는 인$\tau = 1/\sigma^2$

$$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$$

감마 분포의 PDF는

$$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$$

따라서 쉽게 대수로 약간 단순화 된 그들의 제품은

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$$

그것의 내부 부분은 명백하게 의 형태를 가지 므로 전체 범위 τ = 0 에서 τ = ∞에 걸쳐 통합 될 때 감마 함수 의 배수가 됩니다 . 그러므로 그 적분은 즉각적이다 (감마 분포의 적분이 단일 함을 알면 얻을 수 있음).$\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$$\tau=0$$\tau=\infty$

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$$

분포에 제공된 패턴을 일치 시키려고 하면 문제에 오류가 있음 을 알 수 있습니다. Student t 분포 의 PDF는 실제로$t$

$$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$$

(의 힘 인 이 아닌 한 ). 용어를 일치 시키면 k = 2 α , l = μ 및 s = 1 / $(x-l)/s$$2$$1$$k = 2 \alpha$$l=\mu$ .$s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

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이 파생에는 미적분학이 필요하지 않았습니다. 모든 것은 일반 및 감마 PDF의 공식을 찾고, 제품 및 거듭 제곱과 관련된 사소한 대수 조작을 수행하고, 대수식에서 패턴을 순서대로 일치시키는 문제였습니다.

나는 계산 단계를 모르지만 어떤 책의 결과를 알고 있습니다 (어떤 책을 기억할 수는 없습니다 ...). 나는 보통 그것을 직접 염두에 두어야한다. :-) k 도 자유를 갖는 스튜던트 분포는 분산 혼합물 Y 를 갖는 정규 분포로 간주 될 수 있으며 , 여기서 Y 는 역 감마 분포를 따른다. 보다 정확하게는 X ~ t ( k ) , X = $t$$k$$Y$$Y$$X$$t(k)$$X$$\sqrt Y$$\Phi$$Y$$IG(k/2,k/2)$$\Phi$

$0$

$$\sqrt{1/\tau} X =Y$$ is equivalent to a Gaussian mixture with that prior: conditioned on $\tau$, $Y$ is Gaussian with precision $\tau$, and the prior $\tau$ is as desired. Then it remains to show that $\sqrt{1/\tau} X$ is a t-distribution. We can write $$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$$ using a well-known result about gammas and Chi-squares (decompose a gamma as a sum of exponentials and combine the exponentials to normals to Chi squares) This in turn implies that $$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$$ $$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$$ which is a scaled t with $k=2\alpha$ and $s=1/\sqrt{\alpha \beta}$ by variance of t. We can recenter our representation at $\mu$ and $l$ would follow.