정규 분포의 PDF는
에프μ , σ(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2dx
그러나 측면에서 는 인τ= 1 / σ2
지μ , τ( x ) = τ−−√2 π−−√이자형− τ( x − μ )22디x .
감마 분포의 PDF는
hα,β(τ)=1Γ(α)e−τβτ−1+αβ−αdτ.
따라서 쉽게 대수로 약간 단순화 된 그들의 제품은
fμ,α,β(x,τ)=1βαΓ(α)2π−−√e−τ((x−μ)22+1β)τ−1/2+αdτdx.
그것의 내부 부분은 명백하게 의 형태를 가지 므로 전체 범위 τ = 0 에서 τ = ∞에 걸쳐 통합 될 때 감마 함수 의 배수가 됩니다 . 그러므로 그 적분은 즉각적이다 (감마 분포의 적분이 단일 함을 알면 얻을 수 있음).exp(−constant1×τ)×τconstant2dττ=0τ=∞
fμ,α,β(x)=β−−√Γ(α+12)2π−−√Γ(α)1(β2(x−μ)2+1)α+12.
분포에 제공된 패턴을 일치 시키려고 하면 문제에 오류가 있음 을 알 수 있습니다. Student t 분포 의 PDF는 실제로t
1k−−√s⎛⎝⎜⎜11+k−1(x−ls)2⎞⎠⎟⎟k+12
(의 힘 인 이 아닌 한 ). 용어를 일치 시키면 k = 2 α , l = μ 및 s = 1 / √(x−l)/s21k=2αl=μ .s=1/αβ−−−√
이 파생에는 미적분학이 필요하지 않았습니다. 모든 것은 일반 및 감마 PDF의 공식을 찾고, 제품 및 거듭 제곱과 관련된 사소한 대수 조작을 수행하고, 대수식에서 패턴을 순서대로 일치시키는 문제였습니다.